大阪大学 2007年度
文理共通数学 文系第3問・理系第3問

解答

(1)

とおく。円 $C$ は中心が $A$，半径が $r=|\vec{a}|$ で，原点 $O$ を通るから，$P$ が $C$ 上にあることは $|\vec{p}-\vec{a}{|}^2=|\vec{a}{|}^2$ と表せる。これを展開すると $|\vec{p}{|}^2-2\vec{p}\cdot \vec{a}+|\vec{a}{|}^2=|\vec{a}{|}^2$ より $\vec{p}\cdot \vec{a}=\frac{|\vec{p}{|}^2}{2}$ である。

条件(a)より $\vec{q}$ は $\vec{p}$ と同じ向きであり，条件(b)より $|\vec{p}||\vec{q}|=1$ である。したがって $\vec{q}=\frac{\vec{p}}{|\vec{p}{|}^2}$ である。ゆえに $\vec{q}\cdot \vec{a}=\frac{\vec{p}\cdot \vec{a}}{|\vec{p}{|}^2}=\frac{1}{2}$ となる。

これは，点 $Q$ が $\overrightarrow{OQ}\cdot \overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}$ を満たすことを意味する。この集合は $\overrightarrow{OA}$ に垂直な直線である。よって，点 $Q$ は $\overrightarrow{OA}$ に直交する直線上を動く。

(2)

$\overrightarrow{OA}$ の向きを $x$ 軸の正の向きにとる。このとき $A=(r,0)$ であり，円 $C$ は $(x-r{)}^2+y^2=r^2$ である。

(1)で得た直線 $l$ は，$\overrightarrow{OQ}=(x,y)$，$\overrightarrow{OA}=(r,0)$ として $rx=\frac{1}{2}$ すなわち $x=\frac{1}{2r}$ である。

この直線が円 $C$ と2点で交わるためには，円の中心 $(r,0)$ から直線 $x=\frac{1}{2r}$ までの距離が半径 $r$ より小さければよい。すなわち $\left|r-\frac{1}{2r}\right|<r$ である。これは $-r<r-\frac{1}{2r}<r$ と同値である。右側の不等式は $-\frac{1}{2r}<0$ であり，$r>0$ なので常に成り立つ。左側の不等式は $2r>\frac{1}{2r}$ すなわち $4r^2>1$ である。$r>0$ より $\boxed{r>\frac{1}{2}}$ である。

別解。座標で直接求めることもできる。$A=(r,0)$ とすると，円は $x^2+y^2=2rx$ である。$P$ を極座標で $P=(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )$ とおくと，円の式から ${\rho }^2=2r\rho \cos \theta$ であり，$P\ne O$ だから $\rho =2r\cos \theta$ である。$Q$ は同じ向きで $OQ=1/\rho$ だから $Q=\left(\frac{\cos \theta }{\rho },\frac{\sin \theta }{\rho }\right)$ である。よって $Q\text{ の }x\text{ 座標 }=\frac{\cos \theta }{2r\cos \theta }=\frac{1}{2r}$ となり，やはり直線 $x=\frac{1}{2r}$ 上を動く。