大阪大学 1995年度
文理共通数学 文系第1問・理系第2問

解答

$x=0$ を代入すると $|c|\leqq 0$ であるから $c=0$ である。

以下、$x\ne 0$ とする。条件は $|x^3+a{x}^2+bx|\leqq |x{|}^3$ である。両辺を $|x|$ で割ると $|x^2+ax+b|\leqq x^2$ を得る。

ここで $x$ を $0$ に近づけて考える。上の不等式から $-x^2\leqq x^2+ax+b\leqq x^2$ である。したがって $-2x^2\leqq ax+b\leqq 0$ がすべての $x\ne 0$ で成り立つ。特に $x\to 0$ とすると $b=0$ でなければならない。 $b=0$ とすると $|x^2+ax|\leqq x^2$ である。$x\ne 0$ なのでさらに $|x|$ で割って $|x+a|\leqq |x|$ を得る。これもすべての $x\ne 0$ で成り立つ。$x\to 0$ とすれば $a=0$ でなければならない。

よって必要条件として $a=0,b=0,c=0$ を得る。逆にこのとき左辺は $|x^3|$ そのものなので、問題の不等式はすべての実数 $x$ で成り立つ。

したがって求める値は $(a,b,c)=(0,0,0)$ である。

別解。$c=0$ までは同じである。$x>0$ では絶対値不等式は $-x^3\leqq x^3+a{x}^2+bx\leqq x^3$ すなわち $-2x^2\leqq ax+b\leqq 0$ と同値である。$x<0$ でも両辺を $x$ で割る向きに注意して整理すると、同じく $-2x^2\leqq ax+b\leqq 0$ が必要になる。これが正負両側の十分小さい $x$ で成り立つためには、まず $b=0$、ついで $a=0$ でなければならない。よって同じ結論を得る。