大阪大学 1982年度文理共通数学文系第1問・理系第1問解答・解説

問題

関数 $f (x) = \frac{1}{3} sin 3 x - 2 sin 2 x + sin x$ の区間 $[0, π]$ における最大値および最小値を求めよ．

出典：大阪大学 1982年度前期日程第2次学力試験文理共通文系第1問・理系第1問

方針

$f^{'} (x)$ を計算し、 $cos 3 x$ 、 $cos 2 x$ を $c = cos x$ で表して因数分解する。区間 $0 ≦ x ≦ π$ では $c$ は $[- 1, 1]$ を動くので、臨界点は $cos x = \pm \frac{1}{2}$ の二つだけである。端点 $0, π$ と合わせて値を比較すれば最大値・最小値が決まる。

解答

関数 $f (x) = \frac{1}{3} sin 3 x - 2 sin 2 x + sin x$ を微分すると $f^{'} (x) = cos 3 x - 4 cos 2 x + cos x$ である。

ここで $c = cos x$ とおく。三倍角・二倍角の公式より $cos 3 x = 4 c^{3} - 3 c, cos 2 x = 2 c^{2} - 1$ である。したがって $f^{'} (x) = 4 c^{3} - 3 c - 4 (2 c^{2} - 1) + c$ すなわち $f^{'} (x) = 4 c^{3} - 8 c^{2} - 2 c + 4.$ 因数分解すると $f^{'} (x) = 2 (c - 2) (2 c^{2} - 1) .$ 区間 $0 ≦ x ≦ π$ では $- 1 ≦ c = cos x ≦ 1$ である。この範囲で $c - 2 = 0$ となることはない。したがって臨界点は $2 c^{2} - 1 = 0$ すなわち $cos x = \frac{1}{2}, cos x = - \frac{1}{2}$ のときである。よって $x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}$ である。

端点では $f (0) = 0, f (π) = 0$ である。また

f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{3} sin \frac{3 π}{4} - 2 sin \frac{π}{2} + sin \frac{π}{4}

だから

f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - 2 + \frac{2}{2} = - 2 + \frac{2 2}{3} .

さらに

f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{3} sin \frac{9 π}{4} - 2 sin \frac{3 π}{2} + sin \frac{3 π}{4}

より

f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + 2 + \frac{2}{2} = 2 + \frac{2 2}{3} .

以上を比較して、最大値は $2 + \frac{2 2}{3}$ であり、最小値は $- 2 + \frac{2 2}{3}$ である。

別解の視点

因数分解後に増減表を書いてもよいが、閉区間で候補点が端点と二つの臨界点だけに絞れるため、値の直接比較が最も短い。

大阪大学 1982年度文理共通数学 文系第1問・理系第1問

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方針

解答

別解の視点

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