大阪大学 1981年度文理共通数学文系第1問・理系第2問解答・解説

問題

実数 $t$ が $0 ≦ t ≦ π$ の範囲を動くとき，座標が $x = \frac{cos t - a}{1 - 2 a cos t + a ^{2}}$ ， $y = \frac{sin t}{1 - 2 a cos t + a ^{2}}$ で与えられる平面上の点 $P (x, y)$ はどのような図形を描くか．ただし， $a$ は定数で， $∣ a ∣ < 1$ とする．

出典：大阪大学 1981年度前期日程第2次学力試験文理共通文系第1問・理系第2問

方針

分母を $D$ とおき、 $D = (cos t - a)^{2} + sin^{2} t$ であることから $x^{2} + y^{2} = 1/ D$ を得る。これで $cos t, sin t$ を $x, y$ で表し、 $cos^{2} t + sin^{2} t = 1$ に代入して円の方程式を導く。最後に $0 ≦ t ≦ π$ から $y ≧ 0$ となること、逆に上半円上の点から $t$ を戻せることを確認して軌跡全体を決める。

解答

$D = 1 - 2 a cos t + a^{2}$ とおく。これは $D = (cos t - a)^{2} + sin^{2} t$ である。さらに $∣ a ∣ < 1$ だから、 $D = 0$ となることはなく、常に $D > 0$ である。

定義より $x = \frac{cos t - a}{D}, y = \frac{sin t}{D}$ であるから、 $x^{2} + y^{2} = \frac{( cos t - a ) ^{2} + sin ^{2} t}{D ^{2}} = \frac{1}{D}$ となる。したがって $D = \frac{1}{x ^{2} + y ^{2}}$ であり、 $cos t - a = \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}}, sin t = \frac{y}{x ^{2} + y ^{2}}$ を得る。

これを $cos^{2} t + sin^{2} t = 1$ に代入すると

(a + \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}})^{2} + (\frac{y}{x ^{2} + y ^{2}})^{2} = 1

である。両辺に $(x^{2} + y^{2})^{2}$ を掛けて整理すると $(1 - a^{2}) (x^{2} + y^{2}) - 2 a x - 1 = 0$ となる。よって $(x - \frac{a}{1 - a ^{2}})^{2} + y^{2} = \frac{1}{( 1 - a ^{2} ) ^{2}}$ である。

また $0 ≦ t ≦ π$ より $sin t ≧ 0$ であり、 $D > 0$ だから $y ≧ 0$ である。端点は

t = 0 で (\frac{1}{1 - a}, 0), t = π で (- \frac{1}{1 + a}, 0)

となる。

逆に、上で得た円のうち $y ≧ 0$ を満たす点について $cos t = a + \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}}, sin t = \frac{y}{x ^{2} + y ^{2}}$ とおけば、円の方程式から $cos^{2} t + sin^{2} t = 1$ が成り立ち、かつ $sin t ≧ 0$ であるから $0 ≦ t ≦ π$ の $t$ が取れる。したがって欠ける点はない。

ゆえに点 $P$ は、中心 $(\frac{a}{1 - a ^{2}}, 0)$ 半径 $\frac{1}{1 - a ^{2}}$ の円のうち、 $x$ 軸上およびその上側にある半円を描く。

大阪大学 1981年度文理共通数学 文系第1問・理系第2問

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文理共通数学文系第1問・理系第2問