問題
以下の問いに答えよ．
(1) 方程式
の整数解のつを求めよ．
(2) 方程式
の整数解をすべて求めよ．
(3) 自然数が(2)の方程式を満たすとする．の最大値と，そのときのの値を求めよ．
出典：岡山大学 2025年度 前期 理系 第1問
方針
標準解法（特殊解から一般解を作り端点を比較）
の特殊解を1000倍し，斉次方程式の解を加えて一般解を作る。自然数条件を整数パラメータの有限区間へ移し， は区間の両端で比較する。別解では合同式から小さい特殊解を直接選ぶ。
別解（合同式から小さい一般解を作る）
を解いて の合同類を直接求める。小さい特殊解 から一般解を表し，自然数条件の端点で を比較する。
解答
標準解法（特殊解から一般解を作り端点を比較）
(1)
であるから，整数解の一つは
である。
(2)
(1)の両辺を1000倍すると， は の整数解である。したがって
である。 と は互いに素であるから，整数 を用いて
と表される。逆にこの形の はすべて を満たす。よって求める整数解は
である。
(3)
自然数条件より
であるから， である。また
である。したがってこの範囲の端で調べればよく，
となる。よって最大値は であり，そのとき
である。
別解（合同式から小さい一般解を作る）
(1)
より，例えば である。
(2)
を を法として見ると
だから である。よって
とおけば
したがって全整数解は
である。
(3)
自然数条件から
また
である。絶対値は区間の端で最大となり， で82， で324である。よって最大値は324で，そのとき
である。