岡山大学 2025年度文理共通数学文系第4問・理系第2問解答・解説

問題

$x y z$ 空間における $4$ 点 $O (0, 0, 0),$ $A (n, 0, 0),$ $B (0, n, 0),$ $C (0, 0, 2 n)$ を頂点とする四面体 $O A B C$ を考える．ただし， $n$ は $2$ 以上の整数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　四面体 $O A B C$ を平面 $x = k$ で切ったとき，断面として現れる三角形 $T_{k}$ のすべての頂点の座標を求めよ．ただし， $k$ は整数で $1 ≦ k ≦ n - 1$ とする．

(2)　(1)の三角形 $T_{k}$ の内部に含まれ， $y, z$ 座標がいずれも整数となる点の個数を $n, k$ を用いて表せ．ただし，辺および頂点は内部に含まれないとする．

(3)　四面体 $O A B C$ の内部に含まれ， $x,$ $y, z$ 座標がいずれも整数となる点の個数を $n$ を用いて表せ．ただし，面，辺，および頂点は内部に含まれないとする．

出典：岡山大学 2025年度前期文理共通文系第4問・理系第2問

四面体を座標不等式で表し， $x = k$ の断面を三角形として取り出す。断面内部では $y, z$ が正整数で $2 y + z < 2 (n - k)$ を満たすので， $y$ ごとに $z$ を数え，最後に断面の個数を平方和で合計する。

断面 $T_{k}$ は，辺 $O A, A B, A C$ と平面 $x = k$ との3交点を頂点にもつ。

図を準備中です。

四面体 $O A B C$ は

x ≧ 0, y ≧ 0, z ≧ 0, \frac{x}{n} + \frac{y}{n} + \frac{z}{2 n} ≦ 1

で表される。平面 $x = k$ 上では

y ≧ 0, z ≧ 0, 2 y + z ≦ 2 (n - k)

である。したがって断面 $T_{k}$ の頂点は

(k, 0, 0), (k, n - k, 0), (k, 0, 2 (n - k))

である。

$m = n - k$ とおく。断面の内部にある整数点は

y > 0, z > 0, 2 y + z < 2 m

を満たす整数 $y, z$ に対応する。 $y = 1, 2, \dots, m - 1$ に対して， $z$ は

1 ≦ z ≦ 2 m - 2 y - 1

の $2 m - 2 y - 1$ 個である。よって個数は

y = 1 \sum m - 1 (2 m - 2 y - 1) = (m - 1)^{2}

である。したがって求める個数は

(n - k - 1)^{2}

である。

内部の整数点では $x = k$ とおくと $k = 1, 2, \dots, n - 1$ である。(2)より， $x = k$ 上の個数は $(n - k - 1)^{2}$ であるから，全体の個数は

k = 1 \sum n - 1 (n - k - 1)^{2} = j = 0 \sum n - 2 j^{2} = \frac{( n - 2 ) ( n - 1 ) ( 2 n - 3 )}{6}

である。