問題
ハート，スペード，クラブ，ダイヤの各マークのついた（エース），，のカードがそれぞれ枚ずつ箱に入っている．カードは全部で枚である．この箱から枚ずつ無作為に取り出して，枚のカードを横一列に並べる．以下の問いに答えよ．
(1) （エース）のカードが枚連続して並ぶ確率を求めよ．
(2) どの枚の（エース）のカードも連続して並ばない確率を求めよ．
(3) （エース）のカードの連続した並びが生じ，かつ，（エース）のカードが枚以上は連続して並ばない確率を求めよ．
出典：岡山大学 2022年度 前期 文系 第1問
方針
12枚は区別できるが，Aの並びに関する事象は4枚のAが入る位置の選び方 で考えればよい。(1)は4連続の開始位置，(2)は隣り合わない位置選択，(3)は連続ブロックが長さ2だけになる場合をブロック化して数える。
解答
(1)
の4枚が入る位置は 通りで等確率である。4枚が連続する場合，その先頭の位置は 番目から 番目までの 通りである。したがって求める確率は
である。
(2)
以外の8枚を並べたとき，その前後と間にできる 個の場所から 個を選んで を入れれば，どの2枚の も連続しない。したがって求める確率は
である。
(3)
の連続した並びが生じ，かつ3枚以上は連続しない場合を数える。
長さ2の連続ブロックが1個だけある場合，そのブロックを1つのものとみなすと， に関するものはブロック1個と単独2個の計3個である。これらが互いに隣り合わないように長さ11の列に置く方法は 通りで，どれをブロックにするかが 通りあるから， 通りである。
長さ2の連続ブロックが2個ある場合，2個のブロックが隣り合わないように長さ10の列に置くので， 通りである。
よって有利な位置の選び方は 通りであり，求める確率は
である。