岡山大学 2022年度文理共通数学第4問解答・解説

問題

$a$ を実数とし，座標平面上の曲線

$C : y = x^{3} + (a + 2) x^{2} + 2 a x + 2$

を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　 $a$ がどのような値をとっても曲線 $C$ は $2$ つの定点を通る．その $2$ 点の座標を求めよ．

(2)　(1)で求めた $2$ 点のうち， $x$ 座標の小さい方を点 $A,$ もう一方を点 $B$ とし，その $2$ 点を通る直線を $L$ とする．曲線 $C$ と直線 $L$ が異なる $3$ 点で交わり，その交点がすべて線分 $A B$ 上にあるような $a$ の値の範囲を求めよ．

(3)　 $a$ の値が(2)で求めた範囲にあるとする．このとき，曲線 $C$ と(2)で定めた直線 $L$ で囲まれた部分の面積 $S (a)$ の最小値を求めよ．

出典：岡山大学 2022年度前期文理共通第4問

曲線の式を $a$ を含む部分と含まない部分に分け，定点を求める。直線 $L$ は $y = 2$ となり，交点条件は $x (x + 2) (x + a) = 0$ の根の位置で判定する。面積は2つの区間の符号を見て積分し，得られた $S (a)$ を微分して最小値を求める。

曲線の式は

y = x^{3} + 2 x^{2} + 2 + a (x^{2} + 2 x)

と書ける。 $a$ によらない定点では $x^{2} + 2 x = 0$ であるから， $x = 0, - 2$ である。それぞれ $y = 2$ となるので，求める2点は

(- 2, 2), (0, 2)

である。

(1)より $A = (- 2, 2), B = (0, 2)$ であり，直線 $L$ は $y = 2$ である。曲線 $C$ と $L$ の交点は

x^{3} + (a + 2) x^{2} + 2 a x + 2 = 2

すなわち

x (x + 2) (x + a) = 0

で決まる。異なる3点で交わり，すべて線分 $A B$ 上にあるためには，3つ目の根 $- a$ が $- 2$ と $0$ の間にあればよい。したがって

0 < a < 2

である。

$0 < a < 2$ とする。 $C - L$ は

x (x + 2) (x + a)

であり， $- 2 < x < - a$ で正， $- a < x < 0$ で負である。原始関数を

F (x) = \frac{x ^{4}}{4} + \frac{a + 2}{3} x^{3} + a x^{2}

とおくと

S (a) = {F (- a) - F (- 2)} - {F (0) - F (- a)}

である。計算すると

S (a) = \frac{- a ^{4} + 4 a ^{3} - 8 a + 8}{6}

である。よって

S^{'} (a) = \frac{- 4 a ^{3} + 12 a ^{2} - 8}{6} = - \frac{2}{3} (a - 1) (a^{2} - 2 a - 2)

である。 $0 < a < 2$ では $a^{2} - 2 a - 2 < 0$ であるから， $S (a)$ は $0 < a < 1$ で減少し， $1 < a < 2$ で増加する。したがって最小は $a = 1$ のときで，

S (1) = \frac{1}{2}

である。