岡山大学 2021年度文系数学第4問解答・解説

問題

$2$ 次関数 $y = f (x)$ のグラフが $2$ 点 $(1, 1),$ $(- 1, - 1)$ を通るとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　放物線 $y = f (x)$ の頂点の $x$ 座標が $x > 0$ の範囲にあるとき，頂点の $y$ 座標の最小値を求めよ．

(2)　放物線 $y = f (x)$ の頂点の $y$ 座標が $0 ≦ y ≦ 2$ の範囲にあるとき，この放物線と直線 $y = x$ で囲まれた図形の面積の最大値と最小値を求めよ．

出典：岡山大学 2021年度前期文系第4問

通過条件から $f (x) = a x^{2} + x - a$ とおき，頂点の座標を $a$ で表す。(1)は $a < 0$ として相加相乗平均で最小化し，(2)は頂点の $y$ 座標の条件を $u = - a$ の範囲に直して面積 $4 u /3$ の最大最小を求める。

$f (x) = a x^{2} + b x + c$ とおく。2点 $(1, 1), (- 1, - 1)$ を通るので

a + b + c = 1, a - b + c = - 1

である。よって $b = 1, c = - a$ となり，

f (x) = a x^{2} + x - a

である。

頂点の $x$ 座標は $- 1/ (2 a)$ である。これが正であるから $a < 0$ である。頂点の $y$ 座標は

- a - \frac{1}{4 a}

である。 $u = - a$ とおくと $u > 0$ で，この値は

u + \frac{1}{4 u} ≧ 2 u \cdot \frac{1}{4 u} = 1

である。等号は $u = 1/2$ ，すなわち $a = - 1/2$ のとき成り立つ。したがって最小値は

1

である。

放物線と直線 $y = x$ の差は

f (x) - x = a (x^{2} - 1)

である。交点は $x = - 1, 1$ であり，囲まれた図形の面積は

\int_{- 1}^{1} ∣ a ∣ (1 - x^{2}) d x = \frac{4∣ a ∣}{3}

である。

頂点の $y$ 座標が $0 ≦ y ≦ 2$ にあるには，(1)の形から $a < 0$ でなければならない。 $u = - a > 0$ とおくと

u + \frac{1}{4 u} ≦ 2

である。両辺に $4 u$ をかけて

4 u^{2} - 8 u + 1 ≦ 0

となるから

1 - \frac{3}{2} ≦ u ≦ 1 + \frac{3}{2}

である。面積は $4 u /3$ であるから，最小値と最大値はそれぞれ

\frac{4 - 2 3}{3}, \frac{4 + 2 3}{3}

である。