岡山大学 2021年度文理共通数学第3問解答・解説

問題

以下の問いに答えよ．

(1)　 $n$ が整数のとき， $n$ を $6$ で割ったときの余りと $n^{3}$ を $6$ で割ったときの余りは等しいことを示せ．

(2)　整数 $a,$ $b, c$ が条件

$a^{3} + b^{3} + c^{3} = (c + 1)^{3}$ (＊)

を満たすとき， $a + b$ を $6$ で割った余りは $1$ であることを示せ．

(3)　 $1 ≦ a ≦ b ≦ c ≦ 10$ を満たす整数の組 $(a, b, c)$ で，(2)の条件(＊)を満たすものをすべて求めよ．

出典：岡山大学 2021年度前期文理共通第3問

(1)で $n^{3} - n$ を3連続整数の積にして6の倍数であることを示す。(2)ではこの結果を条件式に適用する。(3)では $a + b$ の剰余条件と $a^{3} + b^{3} = 3 c^{2} + 3 c + 1$ の大きさを合わせ，候補を少数に絞る。

n^{3} - n = n (n - 1) (n + 1)

である。これは連続する3つの整数の積であるから，2の倍数であり，かつ3の倍数である。したがって6の倍数である。よって $n^{3}$ と $n$ を6で割った余りは等しい。

(1)より，任意の整数 $m$ について $m^{3}$ と $m$ は6で割った余りが等しい。条件式

a^{3} + b^{3} + c^{3} = (c + 1)^{3}

の両辺を6で割った余りで比べると

a + b + c \equiv c + 1 (mod 6)

である。したがって

a + b \equiv 1 (mod 6)

となり， $a + b$ を6で割った余りは1である。

条件式は

a^{3} + b^{3} = 3 c^{2} + 3 c + 1

と変形できる。また $1 ≦ a ≦ b ≦ c ≦ 10$ より $2 ≦ a + b ≦ 20$ であり，(2)から

a + b = 7, 13, 19

のいずれかである。

一方， $c ≦ 10$ だから

a^{3} + b^{3} = 3 c^{2} + 3 c + 1 ≦ 331

である。 $a + b = 13$ のときでも $a ≦ b$ のもとで最小の立方和は $6^{3} + 7^{3} = 559$ であり，これは331を超える。したがって $a + b = 7$ である。

$a ≦ b$ かつ $a + b = 7$ より

(a, b) = (1, 6), (2, 5), (3, 4)

である。それぞれについて $a^{3} + b^{3}$ は

217, 133, 91

である。これを $3 c^{2} + 3 c + 1$ と比べると， $217$ は $c = 8$ ， $91$ は $c = 5$ のときに得られ， $133$ を与える整数 $c$ はない。

よって求める組は

(a, b, c) = (1, 6, 8), (3, 4, 5)

である。