岡山大学 2018年度文理共通数学第3問解答・解説

問題

$k$ を実数とし， $x$ についての $2$ 次方程式

$x^{2} - k x + 3 k - 4 = 0$

を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　 $x^{2} - k x + 3 k - 4 = 0$ が虚数解をもつような $k$ の値の範囲を求めよ．

(2)　 $x^{2} - k x + 3 k - 4 = 0$ が虚数解 $α$ をもち， $α^{4}$ が実数になるような $k$ の値をすべて求めよ．

出典：岡山大学 2018年度前期文理共通第3問

虚数解の条件は判別式で求める。後半は虚数解を $p + q i$ と置き，解と係数の関係から $p, q$ を $k$ で表す。 $α^{4}$ が実数になる条件は， $α^{2}$ を2乗したときの虚部が0になることとして処理する。

判別式を $D$ とすると

D = k^{2} - 4 (3 k - 4) = k^{2} - 12 k + 16 = (k - 6)^{2} - 20

である。虚数解をもつためには $D < 0$ であればよいから

6 - 25 < k < 6 + 25

である。

虚数解を $α = p + q i$ とおく。ただし $q \neq = 0$ である。解と係数の関係から，もう一つの解は $p - q i$ であり，

2 p = k, p^{2} + q^{2} = 3 k - 4

である。よって

p = \frac{k}{2}, q^{2} = 3 k - 4 - \frac{k ^{2}}{4}

である。

また

α^{2} = (p^{2} - q^{2}) + 2 pq i

であるから， $α^{4}$ の虚部は

4 pq (p^{2} - q^{2})

である。 $q \neq = 0$ なので， $α^{4}$ が実数になるには

p = 0 または p^{2} = q^{2}

であればよい。

$p = 0$ なら $k = 0$ であり，(1)の範囲に入らない。したがって $p^{2} = q^{2}$ を考える。これは

\frac{k ^{2}}{4} = 3 k - 4 - \frac{k ^{2}}{4}

すなわち

k^{2} - 6 k + 8 = 0

である。よって

k = 2, 4

であり，いずれも(1)の範囲に含まれる。したがって求める値は

k = 2, 4

である。