岡山大学 2017年度文理共通数学第4問解答・解説

問題

座標平面の原点を $O (0, 0)$ とする．以下の問いに答えよ．

(1)　座標平面上の異なる $3$ 点 $P,$ $Q, R$ が

$O P \cdot R Q + ∣ O R ∣^{2} - O R \cdot O Q = 0$

を満たしているとする．このとき $R P ⊥ R Q$ となることを示せ．

(2)　点 $Q$ の座標を $(3, 4)$ とし，点 $R$ は $∣ O R ∣ = 1$ を満たしているとする．さらに， $∣ O P ∣ ≦ 1$ を満たすすべての点 $P$ に対して

$O P \cdot R Q + ∣ O R ∣^{2} - O R \cdot O Q ≦ 0$

が成り立っているとする．このとき点 $R$ の座標を求めよ．

出典：岡山大学 2017年度前期文理共通第4問

各点の位置ベクトルを $p, q, r$ とおき，条件式を $(p - r) \cdot (q - r) = 0$ に変形する。(2)は $∣ p ∣ ≦ 1$ での内積の最大値が $∣ q - r ∣$ になることを使い， $r \cdot q$ を未知量として評価する。

$O P = p$ ， $O Q = q$ ， $O R = r$ とおく。すると $R Q = q - r$ ， $R P = p - r$ である。

与えられた条件は

p \cdot (q - r) + ∣ r ∣^{2} - r \cdot q = 0

である。左辺は

(p - r) \cdot (q - r)

に等しい。したがって

R P \cdot R Q = 0

であり， $R P ⊥ R Q$ である。

$q = (3, 4)$ ， $∣ r ∣ = 1$ とする。条件式の左辺は

p \cdot (q - r) + 1 - r \cdot q

である。 $∣ p ∣ ≦ 1$ を満たすすべての $p$ についてこれが $0$ 以下であるための条件は， $p \cdot (q - r)$ の最大値を考えて

∣ q - r ∣ + 1 - r \cdot q ≦ 0

である。

ここで $c = r \cdot q$ とおく。 $∣ q ∣ = 5$ ， $∣ r ∣ = 1$ より $c ≦ 5$ であり，

∣ q - r ∣^{2} = ∣ q ∣^{2} + ∣ r ∣^{2} - 2 r \cdot q = 26 - 2 c

である。上の条件は

c ≧ 1 + 26 - 2 c

である。特に $c ≧ 1$ であるから両辺を2乗して

(c - 1)^{2} ≧ 26 - 2 c

すなわち $c^{2} ≧ 25$ を得る。 $c ≦ 5$ だから $c = 5$ でなければならない。

$r \cdot q = 5 = ∣ r ∣∣ q ∣$ であるから， $r$ は $q$ と同じ向きの単位ベクトルである。よって

r = \frac{q}{5} = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})

である。したがって点 $R$ の座標は

(\frac{3}{5}, \frac{4}{5})

である。