名古屋大学 2026年度文系数学第1問解答・解説

問題

正の実数 $p$ に対して， $x y$ 平面において $y = x^{2} + p$ で定まる放物線を $Q$ とする。 $a$ を実数とし，点 $A (a, a^{2})$ から $Q$ に引いた2本の接線の接点を $B (b, b^{2} + p)$ ， $C (c, c^{2} + p)$ (ただし $b < c$ )とする。また $θ = ∠ C A B$ (ただし $0 < θ < π$ )とおく。このとき，以下の問いに答えよ。

(1) $b, c$ を $p, a$ を用いて表せ。

(2) $θ = \frac{π}{2}$ のとき， $p$ を $a$ を用いて表せ。

(3) $θ \neq = \frac{π}{2}$ のとき， $tan θ$ を $p, a$ を用いて表せ。

(4) $θ ≧ \frac{π}{3}$ がすべての実数 $a$ に対して成り立つための， $p$ の範囲を求めよ。

出典：名古屋大学 2026年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

接点の $x$ 座標を $u$ とおき，放物線 $y = x^{2} + p$ の接線を作る。点 $A (a, a^{2})$ を通る条件から $(u - a)^{2} = p$ が得られるので，2つの接点は $a \pm p$ と分かる。角 $θ$ は， $A B$ と $A C$ の内積と，2次元の面積成分で処理する。最後の全実数 $a$ に対する条件では，内積が0以下なら $θ ≧ π /2$ で自動的に満たされるため，内積が正の場合だけ $tan θ ≧ 3$ に直して $p$ の範囲を決める。

解答

(1)

放物線 $Q : y = x^{2} + p$ 上の点を $(u, u^{2} + p)$ とおく。この点における接線は $y = 2 u (x - u) + u^{2} + p = 2 ux - u^{2} + p$ である。この接線が点 $A (a, a^{2})$ を通るための条件は $a^{2} = 2 u a - u^{2} + p$ であり，整理すると $u^{2} - 2 a u + a^{2} = p$ すなわち $(u - a)^{2} = p$ である。 $p > 0$ より2つの接点が存在し，その $x$ 座標は $u = a - p, u = a + p$ である。 $b < c$ だから $b = a - p, c = a + p$ である。

(2)

以後 $r = p$ とおく。(1)より $B = (a - r, (a - r)^{2} + r^{2}), C = (a + r, (a + r)^{2} + r^{2})$ である。したがって

A B = (- r, (a - r)^{2} + r^{2} - a^{2}) = (- r, 2 r (r - a)) = r (- 1, 2 (r - a))

であり，

A C = (r, (a + r)^{2} + r^{2} - a^{2}) = (r, 2 r (a + r)) = r (1, 2 (a + r))

である。

内積を計算すると $A B \cdot A C = r^{2} {- 1 + 4 (r - a) (a + r)}$ である。ここで $(r - a) (a + r) = r^{2} - a^{2} = p - a^{2}$ だから $A B \cdot A C = p (4 p - 4 a^{2} - 1)$ となる。 $θ = π /2$ のとき，2つのベクトルは垂直であるから，内積が0である。 $p > 0$ より $4 p - 4 a^{2} - 1 = 0$ であり， $p = a^{2} + \frac{1}{4}$ を得る。

(3)

2つのベクトルの面積成分を計算する。 $A B = r (- 1, 2 (r - a))$ ， $A C = r (1, 2 (a + r))$ より，

∣ (- r) \cdot 2 r (a + r) - 2 r (r - a) \cdot r ∣ = - 2 r^{2} (a + r) - 2 r^{2} (r - a) = 4 r^{3}

である。したがって， $θ \neq = π /2$ のとき $tan θ = \frac{面積成分}{内積} = \frac{4 r ^{3}}{p ( 4 p - 4 a ^{2} - 1 )}$ である。 $r^{2} = p$ だから $tan θ = \frac{4 p}{4 p - 4 a ^{2} - 1}$ である。なお，分母が負のときは $θ$ は鈍角であり，この式も $tan θ < 0$ として成り立つ。

(4)

すべての実数 $a$ に対して $θ ≧ π /3$ となるような $p$ を求める。

まず $4 p - 4 a^{2} - 1 ≦ 0$ のとき，内積が0以下であるから $θ ≧ \frac{π}{2} > \frac{π}{3}$ であり，条件は自動的に満たされる。したがって調べる必要があるのは $4 p - 4 a^{2} - 1 > 0$ の場合だけである。この場合は $θ$ が鋭角であり， $θ ≧ π /3$ は $tan θ ≧ 3$ と同値である。

(3)の式を用いると，条件は $\frac{4 p}{4 p - 4 a ^{2} - 1} ≧ 3$ である。ここでは分母が正なので，両辺に分母を掛けて $4 p - 4 a^{2} - 1 ≦ \frac{4 p}{3}$ となる。

左辺は $a^{2}$ が大きいほど小さくなるので，最も厳しいのは $a = 0$ のときである。したがって，すべての実数 $a$ について成り立つための必要十分条件は $4 p - 1 ≦ \frac{4 p}{3}$ である。 $t = p > 0$ とおくと，これは $4 t^{2} - 1 ≦ \frac{4 t}{3}$ すなわち $4 t^{2} - \frac{4}{3} t - 1 ≦ 0$ である。この2次不等式の正の解は $t = \frac{3}{2}$ であり，負の解は $- 1/ (23)$ である。 $t > 0$ だから $0 < t ≦ \frac{3}{2}$ となる。したがって $0 < p ≦ \frac{3}{4}$ である。

逆に $0 < p ≦ 3/4$ なら，上の議論より内積が正の場合でも $θ ≧ π /3$ が成り立ち，内積が0以下の場合はさらに明らかである。よって求める範囲は $0 < p ≦ \frac{3}{4}$ である。

名古屋大学 2026年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

名古屋大学 2026年度
文系数学第1問