名古屋大学 2026年度
文理共通数学 文系第3問・理系第3問

解答

(1)

$120=2^3\cdot 3\cdot 5$ である。条件(＊)より，$a,b,c$ のどの2つも共通の素因数を持たない。したがって $2^3$，$3$，$5$ は，それぞれ $a,b,c$ のうち1つだけに丸ごと入る。

3つの素数ブロックを $8,3,5$ と見て，大小順 $a\leqq b\leqq c$ で並べた組を列挙する。3つをすべて同じ数に入れると $(1,1,120)$ である。2つを同じ数に入れると $(1,3,40),(1,5,24),(1,8,15)$ である。3つを別々に入れると $(3,5,8)$ である。

したがって求める組は $\boxed{(1,1,120),(1,3,40),(1,5,24),(1,8,15),(3,5,8)}$ である。

(2)

$N!$ に現れる素数は $m$ 個である。それぞれの素数 $q$ について，$N!$ に含まれる $q$ の累乗部分を $a,b,c$ のどれか1つへ割り振る必要があり，またそのようにすれば条件(＊)を満たす。

各素数の累乗部分について割り振り先は3通りであり，$m$ 個の素数について独立に選べる。したがって条件(＊)かつ $abc=N!$ を満たす順序つきの組の個数は $\boxed{3^m}$ である。

(3)

(2)で数えた $3^m$ 通りは，$(a,b,c)$ の順序を区別している。ここから $a\leqq b\leqq c$ を満たす組の個数を求める。

条件(＊)のもとで，もし2つの数が等しいなら，その2つは互いに素である同じ正整数である。したがってその共通の値は1でなければならない。$abc=N!>1$ なので，3つすべてが等しいことはなく，2つが等しい場合は $(1,1,N!)$ を並べ替えた場合だけである。

大小順にした組のうち，$(1,1,N!)$ は順序つきでは $(1,1,N!),(1,N!,1),(N!,1,1)$ の3通りに対応する。それ以外の大小順の組は3つの値がすべて異なるので，順序つきでは6通りに対応する。

求める個数を $T$ とする。すると，大小順の組のうち1個は $(1,1,N!)$ であり，残り $T-1$ 個はそれぞれ6通りの順序つき組をもつ。よって $3^m=3+6(T-1)$ である。これを解くと $T=\frac{3^m+3}{6}$ である。したがって求める個数は $\boxed{\frac{3^m+3}{6}}$ である。