名古屋大学 2025年度文系数学第1問解答・解説

問題

実数 $b, c$ に対し，放物線 $y = f (x) = x^{2} + b x + c$ が2点 $(p, 0)$ ， $(q, 0)$ を通ると仮定する(ただし $p < q$ )。また，条件 $0 < t ≦ 1$ をみたす実数 $t$ に対し実数 $r, s$ を次のように定める。

r = \frac{1 + t}{2} p + \frac{1 - t}{2} q, s = \frac{1 - t}{2} p + \frac{1 + t}{2} q

以下の問に答えよ。

(1) $q - s, r - p, s + r, s - r$ のそれぞれを $b, c, t$ を用いて表せ。

(2) $sr$ および $s^{2} + r^{2}$ を $b, c, t$ を用いて表せ。

(3) 放物線 $y = f (x)$ ，直線 $x = r, x = s$ および $x$ 軸が囲む領域の面積を $b, c, t$ を用いて表せ。

出典：名古屋大学 2025年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

放物線は2つの零点 $p, q$ をもつので， $p + q = - b$ ， $pq = c$ ， $q - p = b^{2} - 4 c$ を使う。 $r, s$ は $p, q$ の中点を中心として左右対称に置かれており， $u = (p + q) /2$ ， $d = (q - p) /2$ とおくと $r = u - t d$ ， $s = u + t d$ となる。この対称性で(1)(2)を処理し，(3)は $x = u + v$ と移して $- f (x) = d^{2} - v^{2}$ を $- t d ≦ v ≦ t d$ で積分する。

解答

(1)

放物線 $y = f (x) = x^{2} + b x + c$ が $(p, 0), (q, 0)$ を通るので， $p, q$ は方程式 $x^{2} + b x + c = 0$ の2つの実数解である。したがって解と係数の関係より $p + q = - b, pq = c$ である。また $p < q$ だから $q - p = (p + q)^{2} - 4 pq = b^{2} - 4 c$ である。

定義から

r = \frac{1 + t}{2} p + \frac{1 - t}{2} q, s = \frac{1 - t}{2} p + \frac{1 + t}{2} q

である。よって $q - s = q - (\frac{1 - t}{2} p + \frac{1 + t}{2} q) = \frac{1 - t}{2} (q - p)$ であり，同様に $r - p = (\frac{1 + t}{2} p + \frac{1 - t}{2} q) - p = \frac{1 - t}{2} (q - p)$ である。また $s + r = p + q = - b$ であり，

s - r = (\frac{1 - t}{2} - \frac{1 + t}{2}) p + (\frac{1 + t}{2} - \frac{1 - t}{2}) q = t (q - p)

である。したがって $q - s = r - p = \frac{1 - t}{2} b^{2} - 4 c$ $s + r = - b, s - r = t b^{2} - 4 c$ である。

(2)

(1)で求めた和と差を用いる。まず $sr = \frac{( s + r ) ^{2} - ( s - r ) ^{2}}{4}$ だから

sr = \frac{( - b ) ^{2} - t ^{2} ( b ^{2} - 4 c )}{4} = \frac{b ^{2} - t ^{2} ( b ^{2} - 4 c )}{4}

である。

また $s^{2} + r^{2} = (s + r)^{2} - 2 sr$ より

s^{2} + r^{2} = b^{2} - 2 \cdot \frac{b ^{2} - t ^{2} ( b ^{2} - 4 c )}{4} = \frac{b ^{2} + t ^{2} ( b ^{2} - 4 c )}{2}

である。

(3)

$u = \frac{p + q}{2}, d = \frac{q - p}{2}$ とおく。すると $p = u - d$ ， $q = u + d$ であり，(1)の定義から $r = u - t d, s = u + t d$ である。 $0 < t ≦ 1$ だから， $r, s$ は2つの根 $p, q$ の間にある。

また $f (x) = (x - p) (x - q)$ である。 $x = u + v$ とおくと $f (u + v) = {(u + v) - (u - d)} {(u + v) - (u + d)} = (v + d) (v - d) = v^{2} - d^{2}$ である。したがって根の間では $f (x) ≦ 0$ であり，求める面積は $\int_{r}^{s} - f (x) d x = \int_{- t d}^{t d} (d^{2} - v^{2}) d v$ である。

被積分関数は偶関数なので

\int_{- t d}^{t d} (d^{2} - v^{2}) d v = 2 \int_{0}^{t d} (d^{2} - v^{2}) d v = 2 [d^{2} v - \frac{v ^{3}}{3}]_{0}^{t d} = 2 d^{3} (t - \frac{t ^{3}}{3})

である。ここで $d = \frac{q - p}{2} = \frac{b ^{2} - 4 c}{2}$ であるから，求める面積は $\frac{( b ^{2} - 4 c ) b ^{2} - 4 c}{4} (t - \frac{t ^{3}}{3})$ である。

名古屋大学 2025年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

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文系数学第1問