名古屋大学 2022年度文系数学第3問解答・解説

問題

$a, b$ を実数とし，放物線 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ を $C_{1}$ ，放物線 $y = - (x - a)^{2} + b$ を $C_{2}$ とする。

(1) $C_{1}$ と $C_{2}$ が異なる2点で交わるための $a, b$ の条件を求めよ。

以下， $C_{1}$ と $C_{2}$ は異なる2点で交わるとし， $C_{1}$ と $C_{2}$ で囲まれた図形の面積を $S$ とする。

(2) $S = 16$ となるための $a, b$ の条件を求めよ。

(3) $a, b$ は $b ≦ a + 3$ を満たすとする。このとき $S$ の最大値を求めよ。

出典：名古屋大学 2022年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

2つの放物線の上下差 $C_{2} - C_{1}$ を平方完成し、交点条件と面積を同じ量 $d = b - a^{2} /3$ で表す。 $d > 0$ が異なる2交点の条件であり、囲まれた部分は中心 $x = 2 a /3$ の左右対称な放物線弓形になる。面積は $d - \frac{3}{2} u^{2}$ を交点間で積分して $S = 2 (2 d /3)^{3/2}$ と求める。制約 $b ≦ a + 3$ のもとでは、 $S$ が $d$ の増加関数であることを使い、 $d$ の上限 $a + 3 - a^{2} /3$ を最大化する。

解答

(1)

交点の $x$ 座標は $\frac{1}{2} x^{2} = - (x - a)^{2} + b$ を満たす。整理すると $\frac{3}{2} x^{2} - 2 a x + a^{2} - b = 0$ である。2つの放物線が異なる2点で交わるためには、この二次方程式が異なる2つの実数解を持てばよい。

判別式を $D$ とすると $D = (- 2 a)^{2} - 4 \cdot \frac{3}{2} (a^{2} - b) = 4 a^{2} - 6 a^{2} + 6 b = 6 b - 2 a^{2}$ である。したがって条件は $6 b - 2 a^{2} > 0$ すなわち $b > \frac{a ^{2}}{3}$ である。

(2)

2つの放物線の上下差を計算する。

C_{2} - C_{1} = {- (x - a)^{2} + b} - \frac{1}{2} x^{2} = b - a^{2} + 2 a x - \frac{3}{2} x^{2} = b - \frac{a ^{2}}{3} - \frac{3}{2} (x - \frac{2 a}{3})^{2} .

ここで $d = b - \frac{a ^{2}}{3}$ とおく。(1)より囲まれた図形ができるときは $d > 0$ である。交点は $d - \frac{3}{2} (x - \frac{2 a}{3})^{2} = 0$ を満たすので、 $x - \frac{2 a}{3} = \frac{2 d}{3}$ である。 $u = x - \frac{2 a}{3}$ とおき、 $h = \frac{2 d}{3}$ とする。このとき $d = \frac{3}{2} h^{2}$ であり、面積 $S$ は

S = \int_{- h}^{h} (d - \frac{3}{2} u^{2}) d u = \int_{- h}^{h} \frac{3}{2} (h^{2} - u^{2}) d u = \frac{3}{2} (2 h^{3} - \frac{2 h ^{3}}{3}) = 2 h^{3} = 2 (\frac{2 d}{3})^{3/2} .

$S = 16$ であるためには $2 (\frac{2 d}{3})^{3/2} = 16$ すなわち $(\frac{2 d}{3})^{3/2} = 8$ である。両辺は正なので $\frac{2 d}{3} = 4$ となり、 $d = 6$ である。したがって求める条件は $b = \frac{a ^{2}}{3} + 6$ である。

(3)

$b ≦ a + 3$ より $d = b - \frac{a ^{2}}{3} ≦ a + 3 - \frac{a ^{2}}{3}$ である。右辺を $ϕ (a) = a + 3 - \frac{a ^{2}}{3}$ とおくと、平方完成により $ϕ (a) = \frac{15}{4} - \frac{1}{3} (a - \frac{3}{2})^{2}$ である。したがって $d ≦ \frac{15}{4}$ であり、等号は $a = \frac{3}{2}, b = a + 3 = \frac{9}{2}$ のときに成り立つ。

面積は $S = 2 (\frac{2 d}{3})^{3/2}$ であり、 $d > 0$ の範囲で $d$ について増加する。したがって $S$ の最大値は $d = \frac{15}{4}$ のときであり、

S_{m a x} = 2 (\frac{2}{3} \cdot \frac{15}{4})^{3/2} = 2 (\frac{5}{2})^{3/2} = \frac{5 10}{2}

である。

名古屋大学 2022年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 2022年度
文系数学第3問