名古屋大学 2021年度理系数学第1問解答・解説

問題

$a$ を正の実数とする。放物線 $y = x^{2}$ を $C_{1}$ ，放物線 $y = - x^{2} + 4 a x - 4 a^{2} + 4 a^{4}$ を $C_{2}$ とする。以下の問に答えよ。

(1) 点 $(t, t^{2})$ における $C_{1}$ の接線の方程式を求めよ。

(2) $C_{1}$ と $C_{2}$ が異なる2つの共通接線 $l$ ， $l^{'}$ を持つような $a$ の範囲を求めよ。ただし $C_{1}$ と $C_{2}$ の共通接線とは， $C_{1}$ と $C_{2}$ の両方に接する直線のことである。

以下， $a$ は(2)で求めた範囲にあるとし， $l$ ， $l^{'}$ を $C_{1}$ と $C_{2}$ の異なる2つの共通接線とする。

(3) $l$ ， $l^{'}$ の交点の座標を求めよ。

(4) $C_{1}$ と $l$ ， $l^{'}$ で囲まれた領域を $D_{1}$ とし，不等式 $x ≦ a$ の表す領域を $D_{2}$ とする。 $D_{1}$ と $D_{2}$ の共通部分の面積 $S (a)$ を求めよ。

(5) $S (a)$ を(4)の通りとする。 $a$ が(2)で求めた範囲を動くとき， $S (a)$ の最大値を求めよ。

出典：名古屋大学 2021年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

共通接線を $C_{1}$ の接点 $(t, t^{2})$ で表し，接線 $y = 2 t x - t^{2}$ が $C_{2}$ に接する条件を判別式0で求める。得られる $t$ の2次方程式が異なる2実根をもつことが，共通接線が2本存在する条件である。2本の接線の交点は根の和と積で整理する。面積では，交点の $x$ 座標が $a$ であることから， $x ≦ a$ 側では左側の接線と $C_{1}$ の差を $t_{1}$ から $a$ まで積分する。最後は $S (a) = \frac{1}{3} {a^{2} (1 - 2 a^{2})}^{3/2}$ と見て， $u = a^{2}$ に置き換え，区間 $0 < u < 1/2$ で2次式 $u (1 - 2 u)$ の最大値を求める。

解答

(1)

$C_{1} : y = x^{2}$ の導関数は $y^{'} = 2 x$ である。したがって点 $(t, t^{2})$ における接線の傾きは $2 t$ であり，接線は $y - t^{2} = 2 t (x - t)$ すなわち $y = 2 t x - t^{2}$ である。

(2)

(1) の直線が $C_{2}$ にも接するとする。 $C_{2}$ との交点の $x$ 座標は $- x^{2} + 4 a x - 4 a^{2} + 4 a^{4} = 2 t x - t^{2}$ を満たす。整理すると $x^{2} + (2 t - 4 a) x + 4 a^{2} - 4 a^{4} - t^{2} = 0$ である。

この2次方程式が重解をもつことが接する条件であるから，判別式を0にして $(2 t - 4 a)^{2} - 4 (4 a^{2} - 4 a^{4} - t^{2}) = 0$ を得る。これを整理すると $t^{2} - 2 a t + 2 a^{4} = 0$ である。

異なる2つの共通接線をもつには，この $t$ の2次方程式が異なる2つの実数解をもてばよい。したがって $(- 2 a)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 a^{4} > 0$ であり， $4 a^{2} (1 - 2 a^{2}) > 0$ である。 $a > 0$ より，求める範囲は $0 < a < \frac{1}{2}$ である。

(3)

$d = 1 - 2 a^{2}$ とおく。(2) の2次方程式の2解を $t_{1}, t_{2}$ とすると $t_{1} = a (1 - d), t_{2} = a (1 + d)$ である。2つの接線は $y = 2 t_{1} x - t_{1}^{2}, y = 2 t_{2} x - t_{2}^{2}$ である。

交点の $x$ 座標は $2 t_{1} x - t_{1}^{2} = 2 t_{2} x - t_{2}^{2}$ より， $t_{1} \neq = t_{2}$ に注意して $2 x = t_{1} + t_{2}$ である。したがって $x = \frac{t _{1} + t _{2}}{2} = a$ である。この値を接線の式に代入すると $y = 2 t_{1} a - t_{1}^{2} = t_{1} (2 a - t_{1})$ であるが， $t_{1} + t_{2} = 2 a$ なので $y = t_{1} t_{2} = 2 a^{4}$ である。よって交点は $(a, 2 a^{4})$ である。

(4)

$t_{1} < t_{2}$ とする。2本の接線の差は $(2 t_{1} x - t_{1}^{2}) - (2 t_{2} x - t_{2}^{2}) = 2 (t_{1} - t_{2}) (x - a)$ である。 $t_{1} < t_{2}$ なので， $x < a$ では左側の接線 $y = 2 t_{1} x - t_{1}^{2}$ の方が上にある。

また放物線 $C_{1}$ とその接線の差は $x^{2} - (2 t_{1} x - t_{1}^{2}) = (x - t_{1})^{2}$ である。したがって $D_{1}$ と $D_{2} : x ≦ a$ の共通部分の面積は

S (a) = \int_{t_{1}}^{a} {x^{2} - (2 t_{1} x - t_{1}^{2})} d x = \int_{t_{1}}^{a} (x - t_{1})^{2} d x = \frac{( a - t _{1} ) ^{3}}{3}

である。

ここで $a - t_{1} = a - a (1 - d) = a d = a 1 - 2 a^{2}$ だから $S (a) = \frac{a ^{3} ( 1 - 2 a ^{2} ) ^{3/2}}{3}$ である。

(5)

(4) より $S (a) = \frac{1}{3} {a^{2} (1 - 2 a^{2})}^{3/2}$ である。 $0 < a < 1/ 2$ なので $0 < a^{2} < \frac{1}{2}$ である。ここで $u = a^{2}$ とおくと， $S (a)$ を最大にするには $u (1 - 2 u)$ を $0 < u < 1/2$ で最大にすればよい。

この2次式は $u (1 - 2 u) = - 2 (u - \frac{1}{4})^{2} + \frac{1}{8}$ であるから， $u = 1/4$ のとき最大値 $1/8$ をとる。これは $a = 1/2$ に対応し，条件範囲内にある。

したがって $S (a) ≦ \frac{1}{3} (\frac{1}{8})^{3/2} = \frac{2}{96}$ であり，求める最大値は $\frac{2}{96}$ である。

名古屋大学 2021年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

名古屋大学 2021年度
理系数学第1問