名古屋大学 2021年度文理共通数学文系第2問・理系第2問解答・解説

問題

4つの実数を $α = lo g_{2} 3$ ， $β = lo g_{3} 5$ ， $γ = lo g_{5} 2$ ， $δ = \frac{3}{2}$ とおく。以下の問に答えよ。

(1) $α β γ = 1$ を示せ。

(2) $α, β, γ, δ$ を小さい順に並べよ。

(3) $p = α + β + γ$ ， $q = \frac{1}{α} + \frac{1}{β} + \frac{1}{γ}$ とし， $f (x) = x^{3} + p x^{2} + q x + 1$ とする。このとき $f (- \frac{1}{2})$ ， $f (- 1)$ および $f (- \frac{3}{2})$ の正負を判定せよ。

出典：名古屋大学 2021年度前期日程第2次学力試験文理共通文系第2問・理系第2問

方針

(1) は底の変換公式で積をただちに1にする。(2) は対数の大小を指数の大小へ戻し， $γ < 1 < β$ ， $β < 3/2$ ， $3/2 < α$ を順に示す。(3) は $α β γ = 1$ から $q = α β + β γ + γ α$ と変形し， $f (x) = (x + α) (x + β) (x + γ)$ と因数分解する。あとは $1/2, 1, 3/2$ と $α, β, γ$ の位置関係を使って各因子の符号を判定する。

解答

(1)

底の変換公式を用いると

α β γ = lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 5 \cdot lo g_{5} 2 = \frac{lo g 3}{lo g 2} \cdot \frac{lo g 5}{lo g 3} \cdot \frac{lo g 2}{lo g 5} = 1

である。

(2)

まず $γ = lo g_{5} 2 < 1$ であり，また $β = lo g_{3} 5 > 1$ である。したがって $γ < 1 < β$ である。

次に $β < \frac{3}{2}$ は，底 $3 > 1$ に注意すると $5 < 3^{3/2}$ と同値である。両辺は正なので2乗して $25 < 27$ となり，これは成り立つ。よって $β < \frac{3}{2}$ である。

また $\frac{3}{2} < α$ は $2^{3/2} < 3$ と同値であり，両辺を2乗すると $8 < 9$ であるから成り立つ。したがって $γ < β < δ < α$ である。

(3)

(1) より $α β γ = 1$ であるから

q = \frac{1}{α} + \frac{1}{β} + \frac{1}{γ} = β γ + γ α + α β

である。したがって

f (x) = x^{3} + (α + β + γ) x^{2} + (α β + β γ + γ α) x + α β γ = (x + α) (x + β) (x + γ)

である。

さらに $γ < \frac{1}{2}$ を確認しておく。これは $lo g_{5} 2 < \frac{1}{2}$ すなわち $2 < 5$ と同値で， $4 < 5$ より成り立つ。

よって

f (- \frac{1}{2}) = (α - \frac{1}{2}) (β - \frac{1}{2}) (γ - \frac{1}{2})

であり，最初の2因子は正，最後の因子は負である。したがって $f (- \frac{1}{2}) < 0$ である。

また $α > 1, β > 1, γ < 1$ だから $f (- 1) = (α - 1) (β - 1) (γ - 1) < 0$ である。最後に，(2) より $α > 3/2$ ， $β < 3/2$ ， $γ < 3/2$ なので

f (- \frac{3}{2}) = (α - \frac{3}{2}) (β - \frac{3}{2}) (γ - \frac{3}{2}) > 0

である。

別解。 $f (x)$ の根は $- α, - β, - γ$ である。(2) と $γ < 1/2$ から $- α < - \frac{3}{2} < - β < - 1 < - \frac{1}{2} < - γ$ である。 $f (x)$ は最高次係数が正の3次式なので，この根の並びに沿って符号を追っても，同じく

f (- \frac{1}{2}) < 0, f (- 1) < 0, f (- \frac{3}{2}) > 0

が得られる。

名古屋大学 2021年度文理共通数学 文系第2問・理系第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

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文理共通数学文系第2問・理系第2問