名古屋大学 2018年度文理共通数学文系第3問・理系第4問解答・解説

問題

2つの正方形ABCDとCDEFを辺CDで共有するように左右に並べた図形を考える。2点P，Qが6個の頂点A，B，C，D，E，Fを以下の規則(a)，(b)に従って移動する。

(a) 時刻0では点Pは頂点Aに，点Qは頂点Cにいる。

(b) 点P，Qは時刻が1増えるごとに独立に，今いる頂点と辺で結ばれている頂点に等確率で移動する。

時刻 $n$ まで2点P，Qが同時に同じ頂点にいることが一度もない確率を $p_{n}$ と表す。また時刻 $n$ まで2点P，Qが同時に同じ頂点にいることが一度もなく，かつ時刻 $n$ に2点P，Qがともに同じ正方形上にいる確率を $a_{n}$ と表し， $b_{n} = p_{n} - a_{n}$ と定める。このとき，次の問に答えよ。

(1) 時刻1での点P，Qの可能な配置を，図2にならってすべて図示せよ。

(2) $a_{1}$ ， $b_{1}$ ， $a_{2}$ ， $b_{2}$ を求めよ。

(3) $a_{n + 1}$ ， $b_{n + 1}$ を $a_{n}$ ， $b_{n}$ で表せ。

(4) $p_{n} ≦ (\frac{3}{4})^{n}$ を示せ。

% 図は省略% 図は省略

出典：名古屋大学 2018年度前期日程第2次学力試験文理共通文系第3問・理系第4問

方針

図形の頂点の隣接関係を明確にし，時刻1では $P$ の行き先2通りと $Q$ の行き先3通りをすべて列挙する。以後は「時刻 $n$ まで出会っていない」ことを含めた確率を $a_{n}, b_{n}$ として扱い，次の1回で出会うものを除いて，次も同じ正方形上にいる場合といない場合へ振り分ける。 $a_{2}, b_{2}$ は時刻1の4つの非衝突配置から直接数える。(3)は到達可能な配置を図で分類して遷移確率を表にまとめ，最後に $p_{n + 1} ≦ (3/4) p_{n}$ を帰納的に用いる。

解答

(1)

時刻0で $P$ は $A$ にいるので，時刻1での $P$ の位置は $B, D$ の2通りである。また $Q$ は $C$ にいるので，時刻1での $Q$ の位置は $B, D, F$ の3通りである。したがって時刻1での可能な配置は $(B, B), (B, D), (B, F), (D, B), (D, D), (D, F)$ である。

(2)

時刻1の6通りは，それぞれ確率 $1/6$ で起こる。このうち出会っている配置は $(B, B)$ ， $(D, D)$ である。出会っていない配置は $(B, D), (B, F), (D, B), (D, F)$ である。

このうち2点がともに同じ正方形上にいるものは $(B, D), (D, B), (D, F)$ であり， $(B, F)$ は同じ正方形上にない。よって $a_{1} = 3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{2}, b_{1} = \frac{1}{6}$ である。

次に時刻2を求める。時刻1で出会っていない4配置から，次の1歩で出会わないものだけを数える。各配置からの寄与を表にすると

(B, D) (D, B) (D, F) (B, F) a_{2} 3 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} 3 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} 3 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} 2 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{4} b_{2} 1 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} 1 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} 1 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} 1 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{4}

である。したがって $a_{2} = 3 \cdot \frac{3}{36} + \frac{2}{24} = \frac{1}{3}$ であり， $b_{2} = 3 \cdot \frac{1}{36} + \frac{1}{24} = \frac{1}{8}$ である。

(3)

時刻 $n$ まで出会っていない配置について，次の1歩で出会う配置を除いて数える。図の対称性に従って到達可能な配置を同じ正方形上にいる場合とそうでない場合に分けて調べると，次の表になる。ここで，表の第1行は同じ正方形上にいる場合，第2行は同じ正方形上にいない場合を表す。

A B a_{n + 1} \frac{1}{2} \frac{1}{2} b_{n + 1} \frac{1}{6} \frac{1}{4}

ここで表の各割合は，それぞれの型に属する配置から次に移る全可能性を列挙し，同じ頂点で出会う場合を除いて合計したものである。

したがって $a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + \frac{1}{2} b_{n}, b_{n + 1} = \frac{1}{6} a_{n} + \frac{1}{4} b_{n}$ である。

(4)

$p_{n} = a_{n} + b_{n}$ であるから，(3)より

p_{n + 1} = a_{n + 1} + b_{n + 1} = (\frac{1}{2} + \frac{1}{6}) a_{n} + (\frac{1}{2} + \frac{1}{4}) b_{n} = \frac{2}{3} a_{n} + \frac{3}{4} b_{n}

である。ここで $a_{n}, b_{n} ≧ 0$ なので $\frac{2}{3} a_{n} + \frac{3}{4} b_{n} ≦ \frac{3}{4} a_{n} + \frac{3}{4} b_{n} = \frac{3}{4} p_{n}$ である。したがって $p_{n + 1} ≦ \frac{3}{4} p_{n}$ を得る。

時刻0ではまだ出会っていないので $p_{0} = 1$ である。上の不等式を繰り返し用いると $p_{n} ≦ (\frac{3}{4})^{n} p_{0} = (\frac{3}{4})^{n}$ である。よって $p_{n} ≦ (\frac{3}{4})^{n}$ が示された。

名古屋大学 2018年度文理共通数学 文系第3問・理系第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

名古屋大学 2018年度
文理共通数学文系第3問・理系第4問