問題
3人でジャンケンをする。各人はグー，チョキ，パーをそれぞれの確率で出すものとする。負けた人は脱落し，残った人で次回のジャンケンを行い（アイコのときは誰も脱落しない），勝ち残りが1人になるまでジャンケンを続ける。このとき各回の試行は独立とする。3人でジャンケンを始め，ジャンケンが回目まで続いて回目終了時に2人が残っている確率を，3人が残っている確率をとおく。
(1) ，を求めよ。
(2) ，がみたす漸化式を導き，，の一般項を求めよ。
(3) ちょうど回目で1人の勝ち残りが決まる確率を求めよ。
方針
残り人数を「3人」「2人」「終了」の3状態で見る。3人で1回行うと、3人のまま、2人になる、1人に決まる確率がいずれも になることを、全27通りの手の出方で数える。2人になった後はアイコなら2人のまま、勝敗がつけば終了なので、 の漸化式を立てて に直して解く。最後は「回目まで残り、回目で終了する」遷移を使い、 も同じ式に入ることを確認する。
解答
(1)
3人がそれぞれ独立に3種類の手を出すので、1回のジャンケンの出方は全部で 通りである。
3人のままであるのは、全員同じ手を出す3通り、または3人がグー・チョキ・パーを1つずつ出す6通りである。したがってその確率は である。
2人が残るのは、2人が同じ勝つ手を出し、残り1人がそれに負ける手を出す場合である。勝つ手の選び方が3通り、負ける人の選び方が3通りあるから、確率は である。よって である。
(2)
3人残っている状態から次も3人残る確率は 、2人になる確率も である。また2人残っている状態から次も2人残るのはアイコの場合で、その確率は である。したがって である。
まず より である。次に とおくと、漸化式から であり、 だから となる。初期値は であるから である。よって である。
(3)
まず のとき、3人からただちに1人に決まる確率は である。 のとき、 回目終了時に2人が残っていれば、次に勝敗がつく確率は である。また3人が残っていれば、次に1人だけが勝ち残る確率は である。したがって、ちょうど 回目で1人の勝ち残りが決まる確率は
である。 の場合もこの式は を与えるので、求める確率は である。
別解。 回目終了時点でまだ勝ち残りが決まっていない確率を とすると である。また とみなせる。したがって、ちょうど 回目で終了する確率は であり、同じ答えを得る。