問題
を2以上の整数とする。1からまでの整数が1つずつ書かれている枚のカードがある。ただし，異なるカードには異なる整数が書かれているものとする。この枚のカードから，1枚のカードを無作為に取り出して，書かれた整数を調べてからもとに戻す。この試行を3回繰り返し，取り出したカードに書かれた整数の最小値を，最大値をとする。次の問に答えよ。ただし，とは正の整数で，を満たすとする。また，は以下の正の整数とする。
(1) かつとなる確率を求めよ。
(2) かつとなる確率を求めよ。
(3) となる確率をとする。を求めよ。
(4) が偶数のとき，を最大にするを求めよ。
方針
復元抽出なので、3回の結果はすべて 通りで同様に確からしい。(1)は最小値と最大値の条件を「3回とも指定区間に入る」と言い換える。(2)はその区間内に入ったうえで、左端 と右端 が少なくとも1回ずつ出る条件を包除原理で数える。(3)は幅 の区間の左端を として動かし、(2)の結果を足し合わせる。(4)は の最大化を の最大化に帰着し、 が偶数なので頂点 が整数として許されることを確認する。
解答
(1)
3回の試行の結果を順に とする。復元抽出なので、全事象は 通りで同様に確からしい。
条件 かつ は、3回の結果がすべて の中に入ることと同値である。この区間には 個の整数があるので、条件を満たす取り出し方は 通りである。よって確率は である。
(2)
かつ となるには、3回の結果がすべて に入り、さらに左端 と右端 が少なくとも1回ずつ出ればよい。
区間内だけから選ぶ取り出し方は 通りである。このうち が出ないものは、残り 個から3回選ぶので 通りである。同様に が出ないものも 通りである。両端とも出ないものは、中央の 個から3回選ぶので 通りである。
包除原理より、求める場合の数は であり、展開すると である。したがって確率は である。
(3)
となるとき、最小値を とすれば最大値は である。取りうる は を満たす整数であり、全部で 通りある。
固定した については、(2)で とした場合に等しいので、その確率は である。これらは最小値 の値が異なるため互いに重ならない。したがって であり、 である。
(4)
は偶数である。 を最大にするには、定数 を除いて を最大にすればよい。これは であるから、 のとき最大になる。 は偶数なので は整数であり、また だから を満たす。よって である。