問題
三角形において，辺，，をそれぞれに分割する点を順に，，とする．どんな自然数の組を取っても，となるならば，はどんな三角形か？
出典：名古屋大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 第1問
方針
比をとおき，を動かしての位置を表す。を原点にして，とおけば，直交条件はについての式になる。すべての自然数で成り立つので，例えばで長さの等しさを出し，さらに別の比で内積がであることを出す。最後に，得た条件が逆に十分であることも確認し，必要十分な三角形の形を結論する。
解答
を原点とし， とおく。また とおくと，である。 はをに分けるので である。はをに分けるから であり，はをに分けるから である。したがって である。
条件は
である。左辺を展開すると
となる。
まず，すなわちを代入すると であるから を得る。これを上の式に戻すと である。たとえばならで，だから である。
よって必要条件として が得られた。これは を意味する。
逆に，かつなら である。このとき上で求めた内積の式は任意のでになるので，どんな自然数でもが成り立つ。
したがって求める三角形は を満たす直角二等辺三角形である。
別解。上の内積式をの式として見ると，
はについての2次式である。自然数を変えるとは無数に得られるので，この2次式が無数の値でになる。したがって恒等的にであり，係数比較から同じく を得る。