名古屋大学 1991年度
文理共通数学 第1問

解答

対称軸を $x=h$ とおく。$x=h+u$ と置くと、与えられた関数は $(h+u{)}^4+a(h+u{)}^3+b(h+u{)}^2+c(h+u)+d$ である。グラフが $x=h$ に関して対称であるためには、この式が $u$ の偶関数、すなわち $u$ の奇数次の項を持たないことが必要十分である。

展開して奇数次の係数だけを見る。$u^3$ の係数は $4h+a$ であるから $4h+a=0$ でなければならない。また $u$ の係数は $4h^3+3a{h}^2+2bh+c$ であるから $4h^3+3a{h}^2+2bh+c=0$ でなければならない。

第1式より $h=-\frac{a}{4}$ である。これを第2式に代入すると

である。左辺を整理して $-\frac{a^3}{16}+\frac{3a^3}{16}-\frac{ab}{2}+c=0$ すなわち $\frac{a^3}{8}-\frac{ab}{2}+c=0$ となる。よって $\boxed{a^3-4ab+8c=0}$ である。

逆に、この関係式が成り立つなら $h=-a/4$ とおけば、上で求めた $u^3$ と $u$ の係数がともに0になるので、$x=h$ に関して対称である。したがってこの条件は必要十分である。なお $d$ は定数項として上下移動だけを表すため、対称性の条件には関係しない。