名古屋大学 1990年度
文理共通数学 第1問

解答

第2の放物線の頂点を $(X,Y)$ とおき、式を $y=a(x-X{)}^2+Y$ と書く。接線の直交条件を使うので、まず $a=0$ はありえない。実際、第2の放物線が直線になるとその接線の傾きは常に $0$ であり、$y=x^2$ の接線と直交できない。

交点の $x$ 座標は $x^2=a(x-X{)}^2+Y$ すなわち $(1-a)x^2+2aXx-(a{X}^2+Y)=0$ の相異なる2根である。一方、交点における二つの接線の傾きは $2x,2a(x-X)$ であるから、直交条件は $2x\cdot 2a(x-X)=-1$ すなわち $4a{x}^2-4aXx+1=0$ である。したがって上の二つの2次方程式は同じ相異なる2根をもつ。

まず $X\ne 0$ の場合を考える。このとき $x$ の係数を比較すると、比例定数は $-\frac{1}{2}$ である。よって $1-a=-2a,-(a{X}^2+Y)=-\frac{1}{2}$ となるから、$a=-1$ かつ $Y=X^2+\frac{1}{2}$ を得る。これは頂点が $Y$ 軸上にない場合の軌跡である。

次に $X=0$ の場合を考える。第2の放物線は $y=a{x}^2+Y$ であり、直交条件は $4a{x}^2+1=0$ である。相異なる実数解をもつためには $a<0$ で、交点では $x^2=a{x}^2+Y$ も成り立つ。したがって $Y=(1-a)x^2=(1-a)\left(-\frac{1}{4a}\right)=\frac{a-1}{4a}$ である。$a<0$ より $Y=\frac{1}{4}-\frac{1}{4a}>\frac{1}{4}$ となる。

逆に、$X\ne 0$ で $Y=X^2+\frac{1}{2}$ を満たす点については、$a=-1$ とすれば $y=-(x-X{)}^2+X^2+\frac{1}{2}=-x^2+2Xx+\frac{1}{2}$ となり、上の比較を逆にたどって条件を満たす。また $X=0$、$Y>\frac{1}{4}$ の点については $a=\frac{1}{1-4Y}<0$ とすれば $Y=\frac{a-1}{4a}$ となり、同じく条件を満たす。

以上より、頂点全体の集合は $Y=X^2+\frac{1}{2}$ で表される放物線と、$Y$ 軸上の半直線 $X=0,Y>\frac{1}{4}$ との和集合である。図示では、放物線 $Y=X^2+\frac{1}{2}$ と、開いた端点 $(0,\frac{1}{4})$ から上へ伸びる $Y$ 軸上の半直線を描けばよい。点 $(0,\frac{1}{2})$ は両方に含まれる。

別解。交点の $x$ 座標を $u,v$ とおく方法でも整理できる。交点条件は $(a-1)x^2+bx+c=0$ が相異なる2根をもつことであり、直交条件は交点で $4a{x}^2+2bx+1=0$ が成り立つことである。したがってこの二つの2次方程式は同じ2根をもつ。$b\ne 0$ なら $x$ の係数の比較から比例定数が $\frac{1}{2}$ と分かり、$a=-1$、$c=\frac{1}{2}$ を得る。よって頂点は $(X,Y)=\left(\frac{b}{2},\frac{b^2}{4}+\frac{1}{2}\right)$ で、$Y=X^2+\frac{1}{2}$ である。$b=0$ なら交点は $\pm \alpha$ と書け、$4a{\alpha }^2+1=0$ より $a<0$、また $(a-1){\alpha }^2+c=0$ より $c=\frac{a-1}{4a}>\frac{1}{4}$ となる。これは頂点 $(0,c)$ が $Y$ 軸上の $Y>\frac{1}{4}$ を動くことを示し、同じ結論に至る。