問題
座標平面上の長方形で2辺の長さが1と2のものを考える．このような長方形の軸への正射影の長さを，軸への正射影の長さをとするとき，点の全体はどんな図形になるか．これを図示せよ．
出典：名古屋大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系 第1問・理系 第2問
方針
長方形の長さ2の辺が 軸となす角を とし、射影長に現れる絶対値を 、 と置く。すると 、 であり、、 と表せる。あとは 、 とおき、 と の関係からだ円の一部を得る。
解答
長方形の長さ2の辺が 軸となす角を とする。この辺の 軸への射影の長さは であり、 軸への射影の長さは である。もう一方の長さ1の辺はこれと垂直なので、その射影長は 軸方向に 、 軸方向に である。
そこで とおくと である。また である。
求める点を と書く。すると したがって 一方 であるから すなわち さらに より である。したがって すなわち が必要である。
逆に、だ円 上で を満たす点に対して
とおけば 、 となる。したがって実際にある長方形から得られる。
よって求める図形は で表されるだ円の上側の弧である。端点は であり、最上点は である。これらを結ぶ上側のだ円弧を図示すればよい。
別解の視点
絶対値を含むため、 の象限で場合分けしてもよい。ただし 、 と置けば、すべての象限を第一象限の点 にまとめられるので、軌跡の条件を一度で処理できる。