問題
座標平面上に原点を重心とする3角形がある．1次変換がをに，をにうつすとき，は直線上の点をすべてそれ自身にうつすことを証明せよ．
出典：名古屋大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系・理系 第1問
方針
位置ベクトルを用いる。重心が原点であることから が成り立つので、 と表せる。1次変換は和と実数倍を保つため、、 から を示す。直線 上の任意の点は と書けるので、最後に を確認する。
解答
点 の位置ベクトルをそれぞれ とする。原点 が三角形 の重心であるから である。したがって である。
1次変換 は和と実数倍を保つ。条件より であるから
である。つまり、点 は によってそれ自身へ移る。
直線 上の任意の点の位置ベクトルは、ある実数 を用いて と表される。したがって である。ゆえに は直線 上の点をすべてそれ自身にうつす。