問題
半径1の円周上の2点はをみたすとする。点が円周上を動くとき，の最大値を求めよ。
出典：九州大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
円の中心を原点とし， の位置ベクトルをそれぞれ とする。半径が1なので3つのベクトルはいずれも長さ1であり， から ，したがって がわかる。 を展開すると になるので，内積の最小値 を使って最大値を出す。幾何的には， が と反対方向にあるとき最大になる。
解答
円の中心を とし， の位置ベクトルをそれぞれ とする。半径が1で，3点は円周上にあるので である。
条件 より である。一方，
だから， すなわち である。したがって より である。
求める量を展開すると，
ここで ， であるから， である。等号は， が と同じ向きを向くときに成り立つ。この向きの点は円周上に実際に存在する。
したがって であり，最大値は である。
別解。弦 は半径1の円で中心角 に対応する。 と の中間方向を向く単位ベクトルを とすると，対称性から と見られる。 なので，これは が と反対側の円周上にあるとき最大になり，その値は である。