問題
4個のサイコロを同時に投げるとき，出る目すべての積をXとする。以下の問いに答えよ。
(1) Xが25の倍数になる確率を求めよ。
(2) Xが4の倍数になる確率を求めよ。
(3) Xが100の倍数になる確率を求めよ。
方針
積が何の倍数になるかは、各サイコロの目に含まれる素因数2と5の個数で判定する。全事象は順序つきで 通りとし、(1)は5が少なくとも2個出る場合を数える。(2)は2の指数が2未満である余事象を数える。(3)は なので、5の個数を2個・3個・4個に分け、そのうえで2の指数が2以上になる条件を調べる。
解答
全事象は、4個のサイコロを区別して 通りである。
(1)
であり、1から6までの目で5の因数をもつのは5だけである。したがって が25の倍数となるには、4個のうち少なくとも2個が5であればよい。
5がちょうど2個、3個、4個出る場合を数えると 通りである。よって求める確率は である。
(2)
が4の倍数でないのは、積に含まれる2の個数が合計で0個または1個の場合である。各目について、2の因数をもたない目は の3個、2の因数をちょうど1個もつ目は の2個である。
したがって、4の倍数でない出方は 通りである。よって求める確率は余事象を用いて である。
(3)
であるから、5が少なくとも2個出て、さらに2の因数が合計で2個以上必要である。
5が4個出る場合は、2の因数がまったくないので不適である。5が3個出る場合、残り1個の目だけで2の因数を2個以上もつ必要があるから、その目は4に限られる。よって 通りである。
5が2個出る場合、残り2個の目は から選ばれる。この2個の順序つきの選び方は 通りである。このうち2の因数が合計で1個以下となるものを除く。2の因数をもたない目は の2個、ちょうど1個もつ目は の2個であるから、不適な選び方は 通りである。したがって適する選び方は 通りである。
以上より、 が100の倍数となる出方は 通りである。求める確率は である。