問題
0でない2つの整式，が以下の恒等式を満たすとする。
以下の問いに答えよ。
(1) の次数との次数はともに2以下であることを示せ。
(2) とを求めよ。
出典：九州大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第4問・理系第2問
方針
まず次数だけで候補を2次以下に絞る。第1式では左辺の次数が 、右辺の次数が になるので、 が得られる。これを第2式の次数比較に入れると、高次の場合は左辺の次数が右辺の最大次数を上回って矛盾する。2次以下まで落とした後は、 を一般の2次式で置き、2つの恒等式を係数比較して一意に決める。
解答
(1)
、 は0でないので、それぞれの次数を とおく。第1式 では、左辺の次数は であり、右辺の最高次項は から出るので次数は である。したがって が成り立つ。特に である。
ここで と仮定する。このとき である。第2式 の左辺の次数は である。一方、右辺の次数は高くても である。 なら左辺の次数は 、右辺の次数は高くても で矛盾する。 なら であるから、次数の一致には が必要である。しかしこれは を意味し、 に反する。したがって は不可能であり、 である。さらに より も従う。
(2)
(1)より とおける。第1式に代入すると である。右辺を展開して係数を比較すると を得る。
次に第2式へ代入する。 なので であり、右辺は である。これを整理すると である。係数比較により となる。よって であり、さらに から を得る。また 、 である。したがって である。