九州大学 2013年度
文理共通数学 文系第3問・理系第3問

解答

硬貨を左から順に1番，2番，$\dots$，6番とする。

(1)

2回の操作Lの出目を $i,j$ とする。1回目は左から $i$ 枚、2回目は左から $j$ 枚を反転する。2回とも反転された硬貨は表に戻るので、最終的に裏になる硬貨の枚数は $|i-j|$ である。表が1枚になるには、裏が5枚になればよいから $|i-j|=5$ である。$1\leqq i,j\leqq 6$ でこれを満たすのは $(i,j)=(1,6),(6,1)$ の2通りである。よって求める確率は $\frac{2}{36}=\boxed{\frac{1}{18}}$ である。

(2)

操作Lの出目を $i$、操作Rの出目を $j$ とする。左から $r$ 番目の硬貨について考える。この硬貨が操作Lで反転される確率は $\frac{7-r}{6}$ であり、操作Rで反転される確率は $\frac{r}{6}$ である。2つの出目は独立である。

この硬貨が最後に表であるのは、2回とも反転されるか、2回とも反転されない場合である。したがってその確率は

$=-\frac{1}{6}+\frac{r(7-r)}{18}$ である。よって表の枚数の期待値は

である。ここで ${\sum }_{r=1}^{6}r(7-r)=7{\sum }_{r=1}^{6}r-{\sum }_{r=1}^6{r}^2=147-91=56$ だから、期待値は $-1+\frac{56}{18}=\boxed{\frac{19}{9}}$ である。

別解。(2)は2つの出目の和でも数えられる。操作を $L_i,R_j$ とすると、左右の反転区間が重ならない $i+j\leqq 6$ では表の枚数は $6-i-j$ であり、重なる $i+j\geqq 7$ では重なった部分だけ表に戻るので $i+j-6$ である。したがって表の枚数の総和は ${\sum }_{s=2}^6(s-1)(6-s)+{\sum }_{s=7}^{12}(13-s)(s-6)=20+56=76$ であり、期待値は $\frac{76}{36}=\frac{19}{9}$ となる。

(3)

3回の出目を順に $i,j,k$ とする。2回の操作Lによって奇数回反転される硬貨は、左端から $i$ 枚の集合と左端から $k$ 枚の集合の差である。これは、$i<k$ なら $\{i+1,i+2,\dots ,k\}$ であり、$i>k$ なら $\{k+1,k+2,\dots ,i\}$ である。$i=k$ なら空集合である。

操作Rによって反転される硬貨は右端から $j$ 枚、すなわち $\{7-j,8-j,\dots ,6\}$ である。すべての硬貨が表に戻るには、操作Rで反転される集合と、2回の操作Lで奇数回反転される集合が一致すればよい。 $i<k$ の場合、一致するには右端が6でなければならないので $k=6$、さらに $i=6-j$ である。$j=1,2,\dots ,5$ について5通りある。$i>k$ の場合も同様に $i=6$、$k=6-j$ であり、これも5通りある。$j=6$ では $i$ または $k$ が0になってしまうので不適である。

したがって有利な出目は $5+5=10$ 通りであり、全体は $6^3=216$ 通りである。求める確率は $\frac{10}{216}=\boxed{\frac{5}{108}}$ である。