問題
いくつかの玉が入った箱と箱があるとき，次の試行Tを考える。
(試行T) 箱から2個の玉を取り出して箱に入れ，その後，箱から2個の玉を取り出して箱に入れる。
最初に箱に黒玉が3個，箱に白玉が2個入っているとき，以下の問いに答えよ。
(1) 試行Tを1回行ったときに，箱に黒玉が個入っている確率 を求めて既約分数で表せ。
(2) 試行Tを2回行ったときに，箱に黒玉が個入っている確率 を求めて既約分数で表せ。
(3) 試行Tを3回行ったときに，箱の中がすべて黒玉になっている確率を求めて既約分数で表せ。
方針
箱Aに入っている黒玉の個数を状態として、1回の試行Tで状態がどう移るかを先に表にする。箱Aには常に3個の玉があるので、状態は黒玉数 の3通りだけである。初期状態は3であり、(1) は状態3から1回、(2) はさらにもう1回、(3) は3回後に状態3へ入る確率を、遷移確率を掛けて求める。各遷移では「Aから2個出す」段階と「Bから2個戻す」段階を分け、組合せの分母をそれぞれ 、 として数える。
解答
箱Aに入っている黒玉の個数を状態とする。箱Aには試行Tの前後で常に3個の玉が入っている。また黒玉は全体で3個、白玉は全体で2個だから、箱Aの黒玉数は のいずれかである。
状態が であるとは、箱Aに黒玉が 個入っていることを意味する。1回の試行Tによる遷移確率を、行き先を の順に並べて求める。
状態3のとき、箱Aの2個は必ず黒玉である。これを箱Bへ入れた後、箱Bには黒玉2個、白玉2個が入る。そこから2個を戻すので、戻す黒玉の個数が である確率は
であり、これは である。
同様に、状態1と状態2についても、Aから出す黒玉の個数ごとに分けて数えると、遷移確率は
となる。たとえば状態2では、Aから黒玉2個を出す確率が 、黒玉1個と白玉1個を出す確率が であり、それぞれの場合にBから戻る黒玉数を数えれば、第2行 が得られる。
(1)
最初は箱Aに黒玉が3個入っているので、初期状態は3である。したがって1回後の確率は、表の状態3の行から である。
(2)
2回後の確率は、(1)の分布にもう一度遷移確率を掛ければよい。したがって
である。
(3)
3回後に箱Aの中がすべて黒玉であるとは、3回後の状態が3であることをいう。(2)の分布からもう一度だけ状態3へ移る確率を足し合わせると
である。