問題
1辺の長さの正方形を底面とし，頂点から正方形の各頂点にいたる辺がすべて同じ長さの正4角すいがある．2辺，の中点，と頂点とを通る平面が辺と交わる点を，正方形の中心と頂点とを結ぶ線分の中点をとする．このとき，次の(1)，(2)に答えよ．
(1) ，をそれぞれ，で表せ．
(2) 4角形の面積を，で表せ．
出典：九州大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系 第1問／理系 第2問
方針
と を基準にして考える。 は の中点なので、まず を使う。 は辺 上の点であり、同時に平面 上にあるので、 と置き、 を使った平面上の表し方と係数比較する。面積は座標を置き、四角形 を合同な二つの三角形に分けて成分計算で求める。
解答
{(1)
とおく。このとき である。
底面の中心を とすると である。 は の中点なので
次に を求める。 は辺 上にあるから、ある を用いて
と書ける。
一方、 はそれぞれ の中点だから
は平面 上にあるので と書ける。右辺は である。
これを と比較すると
である。最初の二式から であり、三式目に代入して を得る。したがって よって
(2)
座標を と置く。正四角すいなので、頂点 は底面中心の真上または真下にあり、 と書ける。辺 の長さが なので より である。
中点 と点 は
である。四角形 は対称なので、面積は三角形 の面積の2倍である。
三角形 の面積を成分で計算する。二つの辺を
とする。この二辺が作る平行四辺形の面積の2乗を成分計算で求めると である。したがって四角形 の面積 は ここに を代入すると であるから }