問題
空間内の4点，，，は同一平面上にないとする．点，，を次のように定める．点はを満たし，点は線分をに内分し，点は線分の中点である．さらに，直線上の点を，直線と直線が交点を持つように定める．このとき，線分の長さと線分の長さの比を求めよ．
出典：京都大学 2023年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第2問・理系第2問
方針
が同一平面上にないので， を一次独立な基底として扱う。 は直線 上にあるため とおく。直線 上の点と直線 上の点をそれぞれパラメータで表し，交点をもつ条件を3つの基底の係数比較に直す。最後に を確認して を求める。
解答
とおく。4点 は同一平面上にないから， は一次独立である。
条件より
である。 は直線 上にあるので，ある実数 により と表せる。
直線 と直線 の交点を とする。 が直線 上にあることから，ある実数 を用いて
である。一方， が直線 上にあることから，ある実数 を用いて
である。
一次独立性より係数を比較すると
を得る。第1式と第3式から なので である。したがって であり，これを第2式へ代入すると となる。整理して
だから である。
よって は線分 上にあり， である。