問題
，を自然数，，を
を満たす実数とする．このとき
を満たす，の組をすべて求めよ．
出典：京都大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
文系第4問と同じく，を先に除外し，では倍角公式と加法定理からを得る。あとは自然数になるを調べる。を直接確認し，では分子が分母より小さくなることからとして否定する。
解答
のとき，であるからはと同じ向きである。したがって となり，2にはならない。よっては不適である。
以下，とする。倍角公式より である。よって加法定理から
である。これが2であるから である。整理すると であり， を得る。したがって である。 を調べると
である。したがってこの範囲で自然数になるのは だけである。
次にとする。このとき であるから となる。よって自然数は存在しない。
以上より，求める組は である。