京都大学 2014年度文理共通数学文系第3問・理系第1問解答・解説

問題

座標空間における次の3つの直線 $l$ ， $m$ ， $n$ を考える：

$l$ は点 $A (1, 0, - 2)$ を通り，ベクトル $u = (2, 1, - 1)$ に平行な直線である．

$m$ は点 $B (1, 2, - 3)$ を通り，ベクトル $v = (1, - 1, 1)$ に平行な直線である．

$n$ は点 $C (1, - 1, 0)$ を通り，ベクトル $w = (1, 2, 1)$ に平行な直線である．

$P$ を $l$ 上の点として， $P$ から $m$ ， $n$ へ下ろした垂線の足をそれぞれ $Q$ ， $R$ とする．このとき， $P Q^{2} + P R^{2}$ を最小にするような $P$ と，そのときの $P Q^{2} + P R^{2}$ を求めよ．

出典：京都大学 2014年度前期日程第2次学力試験文理共通文系第3問・理系第1問

方針

点 $P$ を直線 $l$ 上のパラメータ $s$ で表し、垂線の足 $Q, R$ をそれぞれ直線 $m, n$ 上のパラメータで置く。垂線条件は「結ぶベクトルが直線の方向ベクトルと直交する」ことなので、 $(P - Q) \cdot v = 0$ 、 $(P - R) \cdot w = 0$ から足を決める。最後は $P Q^{2} + P R^{2}$ が $s$ の2次式になるため、平方完成により最小値とそのときの $P$ を求める。

解答

点 $P$ は $l$ 上にあるので $P = A + s u = (1 + 2 s, s, - 2 - s)$ とおく。

まず、 $m$ 上の点を $Q = B + t v = (1 + t, 2 - t, - 3 + t)$ とおく。 $Q$ が $P$ から $m$ に下ろした垂線の足であるためには、 $P - Q$ が $m$ の方向ベクトル $v = (1, - 1, 1)$ と垂直であること、すなわち $(P - Q) \cdot v = 0$ が必要十分である。ここで $P - Q = (2 s - t, s - 2 + t, 1 - s - t)$ だから $(2 s - t) - (s - 2 + t) + (1 - s - t) = 3 - 3 t$ である。したがって $t = 1$ となり、 $Q = (2, 1, - 2)$ である。このとき $P - Q = (2 s - 1, s - 1, - s)$ より

P Q^{2} = (2 s - 1)^{2} + (s - 1)^{2} + s^{2} = 6 s^{2} - 6 s + 2

である。

次に、 $n$ 上の点を $R = C + r w = (1 + r, - 1 + 2 r, r)$ とおく。垂線条件は $(P - R) \cdot w = 0$ である。ここで $P - R = (2 s - r, s + 1 - 2 r, - 2 - s - r)$ だから $(2 s - r) + 2 (s + 1 - 2 r) + (- 2 - s - r) = 3 s - 6 r$ である。したがって $r = \frac{s}{2}$ となる。よって $R = (1 + \frac{s}{2}, - 1 + s, \frac{s}{2})$ であり、 $P - R = (\frac{3 s}{2}, 1, - 2 - \frac{3 s}{2})$ だから

P R^{2} = (\frac{3 s}{2})^{2} + 1 + (2 + \frac{3 s}{2})^{2} = \frac{9}{2} s^{2} + 6 s + 5

である。

したがって

P Q^{2} + P R^{2} = (6 s^{2} - 6 s + 2) + (\frac{9}{2} s^{2} + 6 s + 5) = \frac{21}{2} s^{2} + 7

となる。これは $s = 0$ のとき最小である。したがって求める点は $P = (1, 0, - 2)$ であり、そのときの値は $P Q^{2} + P R^{2} = 7$ である。

京都大学 2014年度文理共通数学 文系第3問・理系第1問

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