問題
平行四辺形において，辺をに内分する点を，辺をに内分する点を，辺をに内分する点をとする．線分と線分の交点をとし，線分を延長した直線と辺の交点をとするとき，比を求めよ．
出典：京都大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第2問・理系第1問
方針
平行四辺形では、 を原点、、 とするアフィン座標が有効である。 を の係数で表し、 を 上と 上の2通りに表して係数比較する。最後に直線 上の点 が辺 上にある条件、すなわち の係数が1であることから を求め、 を読む。
解答
を原点とし、 とおく。このとき である。
内分点の条件より
である。ここで は なので、 から へ4等分したうちの3つ分進んだ点である。
点 は線分 上にあるから、ある実数 を用いて と書ける。よって である。
また は線分 上にあるから、ある実数 を用いて と書ける。したがって
である。 の係数を比べると である。すなわち だから である。よって である。
直線 上の点は と表せる。これが辺 上にあるとき、 の係数は1であるから となる。したがって である。つまり であり、 である。よって である。