問題
を3以上の素数とする．4個の整数，，，が次の3条件
を満たすとき，，，，をを用いて表せ．
出典：京都大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第3問・理系第3問
方針
和の条件から として， を に因数分解する。 と は整数で，しかも から である。積が素数 になる因数の組を正負両方から調べ，負の組は大小条件と矛盾することを確認する。最後に を で表し， と から の範囲を1つに絞る。
解答
より である。これを に代入すると すなわち である。左辺は因数分解できて となる。
ここで は整数であり， だから である。 は3以上の素数なので，整数の組 は，順序も考えると のいずれかである。ただし より，候補は に限られる。
負の候補 を仮定する。このとき であり，さらに となる。大小関係 から すなわち である。一方， から すなわち である。ところが なので，この2つは同時に成り立たない。したがって負の候補は不適である。
よって である。したがって であり，和の条件から である。
残りの大小関係を調べる。まず より である。また より である。したがって である。 は3以上の素数なので奇数であり，この範囲にある整数 は だけである。
よって
である。実際，この4つは和が0で，大小関係も満たし， となるので条件を満たす。