問題
水平面上の3点を，，とする．は線分上にあり，線分の長さは1メートルであるとする．から，と垂直に棒が立っている．棒の先端を，から見たときの仰角がそれぞれ，であったという．棒の長さは何メートルか．小数点以下を四捨五入して答えよ．
ただし，である．
出典：京都大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文理共通 文系第5問・理系第4問
方針
棒の高さを と置く。点 からの仰角が なので、水平距離 は高さと等しく になる。 は線分 上にあり だから である。点 からの仰角 を正接の加法定理で によって表し、 と等置する。最後は与えられた の範囲を不等式のまま使い、四捨五入後の整数を確定する。
解答
棒の長さを メートルとする。棒は点 から水平面に垂直に立っているので、点 から見たときの水平距離は 、高さは である。
点 からの仰角が であるから、 である。 より である。また、 は線分 上にあり だから、 である。
点 からの仰角は なので、 である。ここで とおく。 だから、正接の加法定理より である。したがって である。両辺を整理すると より である。よって である。
与えられた条件は である。 は で が大きいほど小さいので、 である。数値を評価すると となる。したがって、小数点以下を四捨五入した棒の長さは メートルである。