問題
は整数を係数とするの4次式とする．4次方程式の重複も込めた4つの解のうち，2つは整数で残りの2つは虚数であるという．このとき，，の値を求めよ．
出典：京都大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第3問・理系第3問
方針
整数係数のモニック多項式で定数項が1なので、整数解は有理根定理により に限られる。重複込みで2つの整数解があるため、整数解の組は の3通りだけである。それぞれについて残りの2次因子を整数係数のモニック2次式として書き、残り2解が虚数になる条件を判別式 で調べる。
解答
は最高次係数1、定数項1の整数係数多項式である。したがって整数解 があれば、 は定数項1の約数でなければならない。よって整数解は に限られる。
重複も込めて2つの整数解をもつので、整数解の組は の3通りである。
まず整数解が と の場合を考える。このとき と書ける。残りの2解は の解であるが、この判別式は なので2つの実数解をもつ。したがって残りの2つが虚数であるという条件を満たさない。
次に、整数解がともに の場合を考える。このとき と書ける。係数が整数であるため は整数である。残りの2解が虚数であるためには、 の判別式が負であればよい。すなわち である。 は整数だから である。展開すると なので、 を得る。
最後に、整数解がともに の場合を考える。このとき と書ける。同じく残りの2解が虚数である条件は であり、 である。また だから、 を得る。
以上より求める値は である。