問題
円に内接する四角形は次の条件(イ)，(ロ)を満たすとする．
(イ) 三角形は正三角形である．
(ロ) との交点は線分を の比に内分する．
このときベクトルを，，を用いて表せ．
出典：京都大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第1問・理系第1問
方針
交点をまず固定する。 と の交点を とすると、内分比から である。したがって は直線 上にあり、 とおける。残る仕事は倍率 の決定である。 を通る円の条件を、 を基底にした係数で表し、 に対応する解を選ぶ。最後に から分母が正であることも確認する。
解答
、 とおく。三角形 は正三角形なので
である。 と の交点を とする。 は を に内分するから である。点 は一直線上にあり、 であるから、ある実数 を用いて と書ける。
ここで、点 が を通る円の上にある条件を求める。 とする。この円は を通るので、中心を とすれば と書ける。また も円上にあるから
である。したがって となる。左辺を内積で計算すると だから、円周条件は である。 については である。これを代入すると である。 なので であり、 を得る。 なので であり、分母は0にならない。
よって
である。
別解。座標で確かめても同じ倍率が得られる。、、 とおくと、外接円は である。また内分点 は である。直線 上の点を とおいて円の方程式へ代入すると
となる。 は点 であり、求める ではないので である。したがって から同じ答えを得る。