京都大学 1999年度
文理共通数学 文系第2問・理系第1問

解答

2点を $P(p,p^2),Q(q,q^2)$ とおく。2点の順序を入れ替えても線分 $PQ$ は同じなので、$p<q$ としてよい。

直線 $PQ$ の傾きは $\frac{q^2-p^2}{q-p}=p+q$ である。よって直線 $PQ$ は $y-p^2=(p+q)(x-p)$ すなわち $y=(p+q)x-pq$ である。 $p<x<q$ では、直線 $PQ$ は放物線 $y=x^2$ より上にある。実際、差は $(p+q)x-pq-x^2=-(x^2-(p+q)x+pq)=(x-p)(q-x)$ であり、これは $p<x<q$ で正である。したがって囲まれる部分の面積は ${\int }_p^q\{(p+q)x-pq-x^2\}dx={\int }_p^q(x-p)(q-x)dx$ である。ここで $u=x-p$ とおくと、$0\leqq u\leqq q-p$ であり ${\int }_p^q(x-p)(q-x)dx={\int }_0^{q-p}u\{(q-p)-u\}du$

となる。これが常に1であるから $\frac{(q-p{)}^3}{6}=1$ すなわち $q-p=\sqrt[3]{6}$ である。

中点 $R$ の座標を $(X,Y)$ とすると $X=\frac{p+q}{2},Y=\frac{p^2+q^2}{2}$ である。ここで $\frac{p^2+q^2}{2}={\left(\frac{p+q}{2}\right)}^2+\frac{(q-p{)}^2}{4}$ だから $Y=X^2+\frac{(q-p{)}^2}{4}$ である。$q-p=\sqrt[3]{6}$ を代入して $Y=X^2+\frac{(\sqrt[3]{6}{)}^2}{4}=X^2+\frac{\sqrt[3]{36}}{4}$ を得る。したがって求める図形の方程式は $y=x^2+\frac{\sqrt[3]{36}}{4}$ である。

別解。中点の $x$ 座標を先に $X$、端点差を $d=q-p$ とおくと $p=X-\frac{d}{2},q=X+\frac{d}{2}$ である。このとき弦と放物線の縦の差は、$x=X+u$ と置くと $\frac{d^2}{4}-u^2\left(-\frac{d}{2}\leqq u\leqq \frac{d}{2}\right)$ となる。したがって面積は ${\int }_{-d/2}^{d/2}\left(\frac{d^2}{4}-u^2\right)du=\frac{d^3}{6}$ であり、$d=\sqrt[3]{6}$ である。また中点の $y$ 座標は $Y=\frac{(X-d/2{)}^2+(X+d/2{)}^2}{2}=X^2+\frac{d^2}{4}$ なので、同じ方程式を得る。