京都大学 1996年度文理共通数学文系第1問・理系第1問解答・解説

問題

$x y$ 平面の原点 $O$ を中心とし半径1の円 $C$ 上に定点 $A$ をとる．同じ円上の点 $X$ に対し，平面上の点 $Y$ を $O Y = O A - 2 (O A \cdot O X) O X$ で定める．ただし， $O A \cdot O X$ は $O A$ と $O X$ の内積である．このとき

(1) $∣ O Y ∣ = 1$ であることを示せ．

(2) $O Y = - O A$ となる点 $X$ をすべて求めよ．

(3) 点 $X$ が円 $C$ を1回まわるとき，点 $Y$ は同じ円を2回まわることを示せ．

出典：京都大学 1996年度前期日程第2次学力試験文理共通文系第1問・理系第1問

方針

円全体を回転しても内積や周回回数は変わらないので， $O A = (1, 0)$ とおいてよい。点 $X$ を $(cos θ, sin θ)$ と表すと，定義式の内積は $cos θ$ になり， $O Y = (- cos 2 θ, - sin 2 θ)$ と二倍角で整理できる。(1)は長さ，(2)は $- O A$ になる角，(3)は偏角が $θ$ の2倍で進むことを確認する。別解として，定義式を直線 $O X$ に関する反転の向きとして読む幾何的な説明もできる。

解答

円を回転して座標軸を取り直しても，内積，長さ，周回回数は変わらない。そこで $O A = (1, 0)$ としてよい。円 $C$ 上の点 $X$ を $O X = (cos θ, sin θ)$ とおく。

このとき $O A \cdot O X = cos θ$ であるから，定義式より

O Y = (1, 0) - 2 cos θ (cos θ, sin θ) = (1 - 2 cos^{2} θ, - 2 sin θ cos θ) = (- cos 2 θ, - sin 2 θ)

である。

(1)

上の表示から $∣ O Y ∣^{2} = cos^{2} 2 θ + sin^{2} 2 θ = 1$ である。よって $∣ O Y ∣ = 1$ である。

(2)

$O Y = - O A = (- 1, 0)$ となるための条件は $- cos 2 θ = - 1, - sin 2 θ = 0$ すなわち $cos 2 θ = 1, sin 2 θ = 0$ である。したがって $2 θ = 0, 2 π (mod 2 π)$ より，円周上の点としては $θ = 0, π$ である。よって求める点 $X$ は，点 $A$ と，点 $A$ の対蹠点である。

(3)

O Y = (- cos 2 θ, - sin 2 θ) = (cos (2 θ + π), sin (2 θ + π))

である。点 $X$ が円 $C$ を1回まわるとき， $θ$ は長さ $2 π$ だけ増える。このとき $Y$ の偏角 $2 θ + π$ は長さ $4 π$ だけ増える。したがって点 $Y$ は同じ円 $C$ を2回まわる。

別解。 $O X$ 方向の単位ベクトルを $u$ とおくと，定義式は $O Y = O A - 2 (O A \cdot u) u$ である。これは $O A$ の $u$ 方向成分を反対向きに折り返し， $u$ に垂直な成分はそのままにする変換である。したがって長さは変わらず， $X$ の方向を $θ$ とすれば折り返された向きは角 $2 θ + π$ になる。これにより(1)と(3)が同時に分かり，(2)も折り返し後が $- O A$ となる軸が $O A$ 方向またはその反対方向であることから分かる。

京都大学 1996年度文理共通数学 文系第1問・理系第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

京都大学 1996年度
文理共通数学文系第1問・理系第1問