問題
平面上に2つの円，がある．1次変換は逆変換をもち，かつをにうつしている．
(1) を上の1点における接線とする．このときのによる像は点におけるの接線である．この理由を述べよ．
(2) をの中心とすれば，はの中心となる．この理由を述べよ．
出典：京都大学 1990年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文理共通 後期 文系第5問・理系第5問
方針
逆変換を持つ1次変換は、点と直線の交わり方を一対一に保ち、さらに中点を中点へ移す。(1)は「接線が円とただ一つの共有点を持つ」ことを像に移す。(2)は円の中心に関する点対称性を像に移し、円の点対称の中心が一意であることを使う。
解答
(1)
は逆変換を持つので一対一であり、直線を直線へ移す。接線 と円 の共有点は だけである。もし と が 以外の点 も共有すれば、 は と の 以外の共有点になり矛盾する。したがって と の共有点は だけであり、 は の における接線である。
(2)
を 上の任意の点とすると、中心 に関して反対側の点 も 上にある。1次変換は和と定数倍を保つので
よって は に関して点対称である。円を点対称に移して不変にする点はその中心だけであるから、 は の中心である。