問題
色の絵の具のセットがある．一つの立方体の面を各面独立に，各色を確率で選んで塗る．このとき，塗られた結果が，使用された色の数が3以内で，かつ，同色の面が隣り合うことになっていない確率を求めよ．
また，の異なる値，に対して，との大きさを比較せよ．
方針
同じ色の2面が隣り合えないので、同じ色が2回使われるならその2面は向かい合う面でなければならない。使用色が3色以内で6面を塗るには、立方体の3組の向かい合う面がそれぞれ同色になり、しかも3組には互いに異なる色が割り当てられる場合だけが残る。数え上げでは、3組の向かい合う面に順に色を割り当てる。大小比較では を作り、分母と分子の差を正と示して、 で単調に減少することを確認する。
解答
同じ色で塗られた2つの面があるとする。条件より、それらは隣り合ってはならない。立方体で互いに隣り合わない2面は向かい合う2面だけであるから、1つの色が使われる面は高々2面である。
いま使用された色の数は3以内で、面は全部で6面ある。1色あたり高々2面なので、条件を満たすためには、実際にはちょうど3色が使われ、各色がちょうど2面ずつ使われるしかない。さらに、同じ色の2面は向かい合う面でなければならない。
立方体の向かい合う面の組は3組である。この3組に互いに異なる色を割り当てれば、各組の2面は同じ色で塗られ、隣り合う同色面は生じない。したがって条件を満たす塗り方の数は である。一方、各面を独立に 色から選ぶ全体の塗り方は 通りである。よって である。
次に による大小を調べる。 に対して
である。ここで
である。 では であり、また であるから、この差は正である。したがって となり、 である。よって は で単調に減少する。
したがって、 が異なる 以上の整数であるとき、 であり、逆に ならば である。
別解。塗り方の数え上げは、先に使う3色を選ぶと考えてもよい。 通りで3色を選び、その3色を3組の向かい合う面に対応させる方法が 通りあるので、条件を満たす塗り方は 通りで同じ結果になる。