問題
方程式によって与えられる双曲線をとし，また次のように，行列によって定義される1次変換をとする．
1次変換が双曲線を自身の上へ写すための(，，，についての)必要十分条件を求めよ．
出典：京都大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第1問・理系第1問
方針
双曲線上の点を とおき、変換後の2座標の積がすべての で になる条件を恒等式として比較する。そこで得られる から、対角型と反対角型の2通りだけに分かれる。最後に、それぞれが単に の中へ入るだけでなく、 の任意の点を実際に得られることまで確認する。
解答
上の点は と表せる。この点を与えられた一次変換で移した後の座標を とすると、 である。
まず、 が の中へ移るためには、すべての について でなければならない。実際に積を計算すると
である。これが常に に等しいので、 の項、 の項、定数項を比べて を得る。
この3条件を満たす形を調べる。 から、 の少なくとも一方、 の少なくとも一方が である。もし または なら となり不適である。したがって残る可能性は または の2通りである。
次に十分性を確認する。 のときは であり、 なら である。また 上の任意の点 に対して とすれば であり、その点から が得られる。 のときは であり、同じく である。任意の に対しては とすれば であるから、やはり 全体が得られる。
よって必要十分条件は または である。