京都大学 1981年度文理共通数学文系第5問・理系第4問解答・解説

問題

(1) 四面体 $P QR S$ が， $∠ P QR = ∠ R QS = ∠ S QP = 90^{\circ}$ および $P R = P S = a$ (定数)をみたすとき，このような四面体の体積の最大値を求めよ．

(2) 四面体 $A B C D$ が， $A B = B C = C D = D A = a$ (定数)をみたすとき，このような四面体の体積の最大値を求めよ．

出典：京都大学 1981年度前期日程第2次学力試験文理共通文系第5問・理系第4問

方針

(1) は $Q$ を直交する3辺の頂点と見て、 $QP = x$ , $QR = y$ , $QS = z$ と置く。 $P R = P S = a$ から $y = z$ を得て、体積 $x y z /6$ を1変数関数にする。(2) は対角線 $A C = d$ を固定し、三角形 $A B C$ , $A D C$ を底辺 $d$ 、等辺 $a$ の二等辺三角形として扱う。2つの三角形のなす角で高さが最大になる場合を考え、最後に $d$ で最大化する。

解答

(1)

$QP$ , $QR$ , $QS$ は互いに直交しているので $QP = x, QR = y, QS = z$ とおくと、四面体 $P QR S$ の体積は $V = \frac{1}{6} x y z$ である。また直角三角形 $P QR$ , $P QS$ に注目すると $P R^{2} = x^{2} + y^{2}, P S^{2} = x^{2} + z^{2}$ である。 $P R = P S = a$ より $x^{2} + y^{2} = x^{2} + z^{2}$ となり、長さは正なので $y = z$ である。さらに $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ だから $V = \frac{1}{6} x y^{2} = \frac{1}{6} x (a^{2} - x^{2}) (0 < x < a)$ である。 $F (x) = x (a^{2} - x^{2})$ とおくと $F^{'} (x) = a^{2} - 3 x^{2}$ である。よって $F (x)$ は $x = a / 3$ で最大となる。このとき $y^{2} = a^{2} - \frac{a ^{2}}{3} = \frac{2 a ^{2}}{3}$ であるから、最大体積は

V_{m a x} = \frac{1}{6} \cdot \frac{a}{3} \cdot \frac{2 a ^{2}}{3} = \frac{3}{27} a^{3}

である。

(2)

対角線 $A C$ の長さを $d$ とする。 $A B = B C = a$ , $A D = C D = a$ であるから、三角形 $A B C$ と三角形 $A D C$ は、いずれも底辺 $A C = d$ 、等しい2辺が $a$ の二等辺三角形である。底辺 $A C$ に対する高さを $h$ とすると $h^{2} = a^{2} - (\frac{d}{2})^{2}$ である。

四面体の底面を三角形 $A B C$ と見る。この底面積は $\frac{1}{2} d h$ である。点 $D$ から平面 $A B C$ までの距離は、点 $D$ から直線 $A C$ までの距離 $h$ を超えない。したがって

V ≦ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} d h \cdot h = \frac{1}{6} d h^{2} = \frac{1}{6} d (a^{2} - \frac{d ^{2}}{4})

である。この等号は、三角形 $A B C$ と三角形 $A D C$ の平面が直線 $A C$ を軸として直交するように置いたときに実現できる。したがって、あとは $G (d) = d (a^{2} - \frac{d ^{2}}{4}) (0 < d < 2 a)$ の最大値を求めればよい。

微分すると $G^{'} (d) = a^{2} - \frac{3 d ^{2}}{4}$ であるから、最大は $d = \frac{2 a}{3}$ のときに生じる。このとき

G (d) = \frac{2 a}{3} (a^{2} - \frac{a ^{2}}{3}) = \frac{4 a ^{3}}{3 3}

である。よって最大体積は $V_{m a x} = \frac{1}{6} \cdot \frac{4 a ^{3}}{3 3} = \frac{2 3}{27} a^{3}$ である。

別解。

(2) で $d$ を固定した後、2つの二等辺三角形 $A B C$ , $A D C$ は辺の長さだけで形が決まる。変えられるのは、直線 $A C$ のまわりに一方の三角形をどれだけ起こすかだけである。底面積 $(1/2) d h$ は固定され、点 $D$ の底面からの高さは最大でも $h$ なので、体積最大は2つの三角形の平面が直交するときに限られる。この考え方により、上の上限式が単なる評価ではなく実際に達成可能な最大値であることが分かる。

京都大学 1981年度文理共通数学 文系第5問・理系第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

別解。

京都大学 1981年度
文理共通数学文系第5問・理系第4問