熊本大学 2022年度文系数学第1問解答・解説

問題

座標空間の $6$ 点 $A (2, 0, 0),$ $B (0, 3, 0),$ $C (0, 0, 1),$ $D (3, - 1, \frac{5}{6}),$ $E (8, 4, - \frac{1}{3}),$ $F (5, 3, \frac{1}{2})$ について,以下の問いに答えよ．(問1)　 $3$ 点 $A,$ $B,$ $C$ は一直線上にないこと,および $3$ 点 $D,$ $E,$ $F$ は一直線上にないことを示せ．(問2)　 $3$ 点 $A,$ $B,$ $C$ を通る平面と, $3$ 点 $D,$ $E,$ $F$ を通る平面の交わりとして得られる直線を $l$ とする． $l$ 上の点を $1$ つと, $l$ と平行なベクトルを $1$ つ求めよ．

出典：熊本大学 2022年度前期文系第1問

方針

3点が一直線上にないことは，2本の方向ベクトルが比例しないことで示す。各平面の方程式を求め，連立して交線を媒介変数表示する。

解答

(問1)

A B = (- 2, 3, 0), A C = (- 2, 0, 1)

であり，この2つのベクトルは比例しない。したがって $A, B, C$ は一直線上にない。

また

D E = (5, 5, - \frac{7}{6}), D F = (2, 4, - \frac{1}{3})

である。第1成分と第2成分の比が一致しないので，この2つのベクトルも比例しない。したがって $D, E, F$ は一直線上にない。

(問2)

$A, B, C$ を通る平面は，切片の形から

\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + z = 1

すなわち

3 x + 2 y + 6 z = 6

である。 $D, E, F$ を通る平面は，法線ベクトルとして $(9, - 2, 30)$ をとれるので

9 x - 2 y + 30 z = 54

である。この2式を連立する。 $z = s$ とおくと

x = 5 - 3 s, y = \frac{3 s - 9}{2}

である。例えば $s = 1$ とすると，交線上の点として

(2, - 3, 1)

を得る。また， $s$ を $2$ だけ増やすと座標の変化は

(- 6, 3, 2)

である。したがって， $l$ 上の点の一つは $(2, - 3, 1)$ ， $l$ と平行なベクトルの一つは $(- 6, 3, 2)$ である。

熊本大学 2022年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

熊本大学 2022年度
文系数学第1問