熊本大学 2018年度文理共通数学第4問解答・解説

問題

初項が $1$ である数列 ${a_{n}}$ に対して $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ とおく． ${S_{n}}$ が $S_{n + 1} = 2 S_{n} + n^{2} + 2 n$ （ $n ≧ 1$ ）をみたすとき，以下の問いに答えよ．(問1)　 $a_{2} ， a_{3}$ を求めよ．(問2)　 $n ≧ 2$ のとき， $a_{n + 1}$ を $a_{n}$ と $n$ を用いて表せ．(問3)　 $n ≧ 2$ のとき， $a_{n}$ を $n$ の式で表せ．

出典：熊本大学 2018年度前期文理共通第4問

方針

まず $S_{1} = 1$ から $S_{2}, S_{3}$ を求める。 $a_{n + 1} = S_{n + 1} - S_{n}$ と $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ を使い， $S_{n}$ を消去して $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2 n + 1$ を得る。最後は一次式の特解を引いて等比型にする。

解答

(問1)

$S_{1} = a_{1} = 1$ であるから

S_{2} = 2 S_{1} + 1^{2} + 2 \cdot 1 = 5

である。したがって

a_{2} = S_{2} - S_{1} = 4

である。また

S_{3} = 2 S_{2} + 2^{2} + 2 \cdot 2 = 18

より

a_{3} = S_{3} - S_{2} = 13

である。

(問2)

a_{n + 1} = S_{n + 1} - S_{n} = S_{n} + n^{2} + 2 n

である。また $n ≧ 2$ のとき

S_{n} = 2 S_{n - 1} + (n - 1)^{2} + 2 (n - 1)

であるから

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = S_{n - 1} + (n - 1)^{2} + 2 (n - 1)

である。よって

S_{n} = S_{n - 1} + a_{n} = 2 a_{n} - n^{2} + 1

となる。したがって

a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2 n + 1

である。

(問3)

(問2)より

a_{n + 1} + 2 (n + 1) + 3 = 2 (a_{n} + 2 n + 3)

である。 $a_{2} = 4$ だから

a_{2} + 2 \cdot 2 + 3 = 11

であり， $n ≧ 2$ に対して

a_{n} + 2 n + 3 = 11 \cdot 2^{n - 2}

である。よって

a_{n} = 11 \cdot 2^{n - 2} - 2 n - 3 (n ≧ 2)

である。

熊本大学 2018年度文理共通数学 第4問

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2018年度
文理共通数学第4問