熊本大学 2017年度文系数学第2問解答・解説

問題

$n$ は $5$ 以上の自然数とする．赤玉 $3$ 個と白玉 $7$ 個が入っている袋から玉を $1$ 個取り出し，色を確認してからもとに戻すという試行を $n$ 回行う．以下の問いに答えよ．

(問1)　 $n$ 回目に $3$ 度目の赤玉が出る確率を求めよ．

(問2)　 $2$ 度以上連続することなく $3$ 度赤玉が出る確率を求めよ．

(問3)　 $n$ 回目に $3$ 度目の赤玉が出たとき， $2$ 度以上連続することなく $3$ 度赤玉が出ている条件付き確率を求めよ．

（編注）2022年札幌医科大学前期で改変して活用

出典：熊本大学 2017年度前期文系第2問

方針

赤玉の出る確率を $p = \frac{3}{10}$ ，白玉の出る確率を $q = \frac{7}{10}$ とする。(問1)は最初の $n - 1$ 回に赤がちょうど2回出て，最後が赤である事象を数える。(問2)は隣り合わない3個の位置の選び方を数える。(問3)は(問1)を条件に，最後の赤と連続しないように $n - 1$ 回目が白になる位置条件を数える。

解答

(問1)

赤玉の出る確率を $p = \frac{3}{10}$ ，白玉の出る確率を $q = \frac{7}{10}$ とする。 $n$ 回目に $3$ 度目の赤玉が出るには，最初の $n - 1$ 回に赤玉がちょうど $2$ 回出て， $n$ 回目に赤玉が出ればよい。したがって求める確率は

_{n - 1} C_{2} p^{3} q^{n - 3} =_{n - 1} C_{2} (\frac{3}{10})^{3} (\frac{7}{10})^{n - 3}

である。

(問2)

$n$ 回のうち赤玉が出る $3$ 回の位置を，隣り合わないように選ぶ。 $n$ 個の位置から隣り合わない $3$ 個を選ぶ方法は

_{n - 2} C_{3}

通りである。よって求める確率は

_{n - 2} C_{3} (\frac{3}{10})^{3} (\frac{7}{10})^{n - 3}

である。

(問3)

事象 $A$ を「 $n$ 回目に $3$ 度目の赤玉が出る」とする。 $A$ のもとでは，最初の $n - 1$ 回のうち赤玉が出る位置を $2$ 個選ぶので，その選び方は $_{n - 1} C_{2}$ 通りである。

さらに赤玉が連続しないためには， $n - 1$ 回目は白玉であり，最初の $n - 2$ 回の中で赤玉が出る $2$ 個の位置が隣り合わなければよい。この選び方は

_{n - 3} C_{2}

通りである。各位置の出方の確率因子は同じなので，求める条件付き確率は

\frac{_{n - 3} C _{2}}{_{n - 1} C _{2}} = \frac{( n - 3 ) ( n - 4 )}{( n - 1 ) ( n - 2 )}

である。

熊本大学 2017年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2017年度
文系数学第2問