熊本大学 2017年度文理共通数学第3問解答・解説

問題

$f (x) = x^{2} + x$ とし，数列 ${a_{n}}$ を次のように定める． $a_{1} = 8$ とする． $a_{n}$ （ $n ≧ 1$ ）に対して，座標平面上の曲線 $y = f (x)$ 上の点 $((a_{n})^{2}, f ((a_{n})^{2}))$ における接線と直線 $y = x$ との交点の $x$ 座標を $a_{n + 1}$ とする．ただし， $(a_{n})^{2}$ は $a_{n}$ の $2$ 乗を表す．以下の問いに答えよ．

(問1)　すべての自然数 $n$ に対し， $a_{n} > 0$ が成り立つことを示せ．

(問2)　 $b_{n} = lo g_{2} a_{n}$ とおくとき， $b_{n + 1}$ を $b_{n}$ を用いて表せ．

(問3)　数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．

出典：熊本大学 2017年度前期文理共通第3問

方針

接点の $x$ 座標を $u = (a_{n})^{2}$ とおき， $y = x^{2} + x$ の接線と $y = x$ の交点を計算して $a_{n + 1} = \frac{a _{n}^{2}}{2}$ を得る。正値性はこの漸化式から帰納的に示す。 $b_{n} = lo g_{2} a_{n}$ により一次漸化式 $b_{n + 1} = 2 b_{n} - 1$ へ直し， $b_{n} - 1$ を等比数列として解く。

解答

(問1)

$u = (a_{n})^{2}$ とおく。 $f^{'} (x) = 2 x + 1$ であるから，曲線 $y = f (x)$ の点 $(u, f (u))$ における接線は

y = (2 u + 1) (x - u) + u^{2} + u = (2 u + 1) x - u^{2}

である。これと $y = x$ の交点の $x$ 座標は

x = (2 u + 1) x - u^{2}

より， $u > 0$ のとき $x = \frac{u}{2}$ である。したがって

a_{n + 1} = \frac{a _{n}^{2}}{2}

である。 $a_{1} = 8 > 0$ であり， $a_{n} > 0$ ならば $a_{n + 1} = \frac{a _{n}^{2}}{2} > 0$ であるから，すべての自然数 $n$ に対して $a_{n} > 0$ が成り立つ。

(問2)

$a_{n + 1} = \frac{a _{n}^{2}}{2}$ より

b_{n + 1} = lo g_{2} a_{n + 1} = lo g_{2} \frac{a _{n}^{2}}{2} = 2 lo g_{2} a_{n} - 1 = 2 b_{n} - 1

である。

(問3)

$b_{1} = lo g_{2} 8 = 3$ である。(問2)より

b_{n + 1} - 1 = 2 (b_{n} - 1)

であるから， $b_{n} - 1$ は初項 $2$ ，公比 $2$ の等比数列である。よって

b_{n} - 1 = 2^{n}

すなわち $b_{n} = 2^{n} + 1$ である。したがって

a_{n} = 2^{2^{n} + 1}

である。

熊本大学 2017年度文理共通数学 第3問

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2017年度
文理共通数学第3問